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| Aufgabe | Der Patient nimmt ein Medikament ein. Die erste Messung beginnt um 20 Uhr. Die Konzentrationsänderung im Blut beträgt c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t
a) bestimme ersten drei Ableitungen von c(t)
b) berechne Konzentrationsänderung um 22 Uhr und 24 Uhr. Wann wurde das Medikament eingenommen?
c) Wann ist die Konzentration am größten und wie groß ist sie dann? Weise nach dass es das Maximum ist!
d) Wann ist die Abnahme der Konzentrationsrate maximal? Wie ist die Änderungsrate (Steigung) zu diesem Zeitpunkt? |
Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe bei den Aufgaben da ich nicht mehr weiterkomme. Einfache Ableitungen wie [mm] 8x^3+4x^2-11x+3 (=24x^2+8x-11) [/mm] kann ich aber wenn da e und Klammern vorkommen habe ich ehrlich gesagt Probleme.
für a) haben wir die drei Ableitungen gegeben bekommen aber ich bin leider noch nie auf diese Ergebnisse gekommen:
c'(t)=-(2t-1)*e^-0.5t
c''(t)=0.5(2t-5)*e^-0.5t
c'''(t)=-1/4(2t-9)*e^-0.5t
ich hatte für die erste Ableitung diese Idee gehabt aber die ist wohl falsch:
c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t
abgeleitet ergibt
c'(t)=2*(2+3)*e^-0.5t + 2*(2t+3)*e^-0.5t
b) ist das einzige was ich eigentlich gut konnte, für 22 Uhr habe ich in der Formel c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t die Zahl 2 in t eingesetzt was folgendes ergibt:
c(2)=2*(2*2+3)*e^-0.5*2
c(2)=14*e^-0.5*2
c(2)=5,15
für 24 Uhr habe ich das selbe gemacht nur statt 2 die 4 eingesetzt.
c(4)=2*(2*4+3)*e^-0.5*4
c(4)=22*e^-0.5*4
c(2)=2,98
Was wäre dann die Antwort? Die Konzentrationsänderung beträgt 5,15 was?
bei c) muss man glaube ich die Extremwerte ermitteln was ich bei dieser Funktion c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t ehrlich gesagt überhaupt nicht kann, bei Funktionen wie [mm] f(x)=-1,5x^3-15x^2+42x-6 [/mm] kann ich das, aber bei Funktionen mit Klammern und diesem e weiß ich nicht wie das geht.
bei d) muss man denke ich den Wendepunkt ausrechnen, aber das kann ich aufgrund der Funktion auch nicht (siehe c). Wie man Wendepunkte ausrechnet weiß ich allerdings nur grob.
Ich hoffe ihr könnt mir paar Tipps geben wie ich diese Aufgaben bewältigen kann, bitte versteht mich nicht falsch, ich möchte nicht dass ihr eine Komplettlösung für mich macht sondern mir erklären könnt wie ich mit der ekelhaften Funktion klarkomme :P
Danke+Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Sa 10.12.2011 | | Autor: | chrisno |
> ich hatte für die erste Ableitung diese Idee gehabt aber
> die ist wohl falsch:
>
> c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t
> abgeleitet ergibt
> c'(t)=2*(2+3)*e^-0.5t + 2*(2t+3)*e^-0.5t
Ansätze sind da, aber zwei Fehler beseitigen wir mal
(2t+3)' = ? da ist es im ersten Summanden daneben gegangen
Bei (e^-0.5t) hast Du die innere Ableitung vergessen. Kennst Du die Kettenregel?
>
> b) ist das einzige was ich eigentlich gut konnte, für 22
> Uhr habe ich in der Formel c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t die Zahl 2
> in t eingesetzt was folgendes ergibt:
> c(2)=2*(2*2+3)*e^-0.5*2
> c(2)=14*e^-0.5*2
> c(2)=5,15
Nur war nach der Konznetrationsänderung zu diesen Zeitpunkten gefragt- Also musst Du die Rechnung mit der ersten Ableitungsfunktion durchführen.
> Was wäre dann die Antwort? Die Konzentrationsänderung
> beträgt 5,15 was?
Die Angabe fehlt im Aufgabentext. Da hast Du keine Chance. Ebenso ist nicht die Einheit von t gegeben. Du liegst mit den Stunden wohl richtig.
>
> bei c) muss man glaube ich die Extremwerte ermitteln was
> ich bei dieser Funktion c(t)=2*(2t+3)*e^-0.5t ehrlich
> gesagt überhaupt nicht kann,
Die erste Ableitung c'(t)=-(2t-1)*e^-0.5t wurde gegeben.
Hier ist es wichtig zu wissen das e^irgendetwas nie null werden kann.
Also kann c'(t) nur null werden, wenn 2t-1 null wird. Damit hast Du das [mm] $t_{max}.
[/mm]
Dann in c'' einsetzen, und nachdem Du endgültig weißt, dass ein Maximum ist, auch in c einsetzten.
>
> bei d) muss man denke ich den Wendepunkt ausrechnen, aber
> das kann ich aufgrund der Funktion auch nicht (siehe c).
> Wie man Wendepunkte ausrechnet weiß ich allerdings nur
> grob.
Steht da wirlich "Konzentrationsrate"? Das ist ein merkwürdiges Wort. Ich tue mal so, als würde da nur Konzentration stehen. Dann ist nach dem Minimum der ersten Ableitung gefragt.
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Vielen Dank für die Rückmeldung, ich werde morgen die Aufgaben in Angriff nehmen :). Eine Frage allerdings hätte ich noch, und zwar wie genau ich die Kettenregel bei einer e-funktion anwenden soll? Einfache Funktionen wie y = ( 3x - 2 )8 => y' = 24 ( 3x - 2 )7 kann ich lösen aber wie ich schon sagte liegt mir die Funktion in der Aufgabe nicht so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 11.12.2011 | | Autor: | chrisno |
Ganz allgemein: [mm] $\left(e^{f(x)}\right)' [/mm] = f'(x) [mm] \cdot e^{f(x)}$
[/mm]
Beispiel: [mm] $\left(e^{(3x^2-5x)}\right)' [/mm] = (6x-5) [mm] \cdot e^{(3x^2-5x)}$
[/mm]
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ok ich habe mich jetzt lange mit der Aufgabe befasst und bin zu folgenden Rechnungen gekommen, wäre nett wenn ihr mir sagen könntet ob es richtig wäre:
a)
c(t)=2*(2t+3)*e^-0,5t
c(t)=4t+6*e^-0,5t
c'(t)=4*e^-0,5t + (4t+6)*(-0,5)*e^-0,5t
c'(t)=4*e^-0,5t + (-2t-3)*e^-0,5t
c'(t)=[4+(-2t-3)]*e^-0,5t
c'(t)=(4-2t-3)*e^-0,5t
c'(t)=1-2t*e^-0,5t
Meine Frage wäre ob dieses Ergebnis auch richtig wäre? Denn im 1. Post hat die Lösung eine andere Schreibweise. Die anderen zwei Ableitungen sind:
c''(t)=-2,5+1t*e^-0,5t
c'''(t)=2,25-0,5t*e^-0,5t
Ich habe diese genauso wie die erste Ableitung gerechnet, also Anwendung mit der Produktregel.
bei b) habe ich die eine Hälfte schon im Eingangspost bearbeitet, es fehlte aber noch die Notwendige Bedingung wie ich im Nachhinein erfahren habe:
c(t)=0
2(2t+3)=0
4t+6=0 |-6
4t=-6 |:4
t=-1,5
22 Uhr - 1,5 Stunden würde dann 20:30 Uhr ergeben, an diesem Zeitpunkt wurde das Medikamt eingenommen. Ist dies korrekt?
c)
NB:
c'(t)=1-2t*e^-0,5t
c'(t)=0
0=1-2t*e^-0,5t |+2t
2t=1 |:2
t=0,5
Bei der HB bekomme ich ein falsches Ergebnis raus, richtig wäre ~-0,74 oder -1,56 (weiß ich leider nicht mehr ganz genau).
Ich habe es jedenfalls so gemacht:
c''(t)=1-2t*e^-0,5t
c''(t) ungleich 0
c''(0,5)=0,78
Danke+Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Herby |
Moin Toni,
> ok ich habe mich jetzt lange mit der Aufgabe befasst und
> bin zu folgenden Rechnungen gekommen, wäre nett wenn ihr
> mir sagen könntet ob es richtig wäre:
>
> a)
>
> c(t)=2*(2t+3)*e^-0,5t
>
> c(t)=4t+6*e^-0,5t
das hier stimmt leider nicht. Wenn du die 2 in die Klammer hinein multiplizierst, dann bleibt dir die Klammer zunächst erhalten
[mm]c(t)=(4t+6)*e^{-0,5t}[/mm]
und wenn du nun den Faktor [mm]e^{-0,5t}[/mm] auch noch mitnimmst, dann erhältst du
[mm]c(t)=4t*e^{-0,5t}+6*e^{-0,5t}[/mm]
Davon bildest du nun die erste Ableitung. Für den vorderen Teil (bis zum "+") musst du die  Produktregel und Kettenregel anwenden; beim letzteren nur die Kettenregel
Grüße
Herby
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