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| Aufgabe | Berechnen Sie f'(x) und f''(x).
a) f(x)= [mm] (6-5x)^3
[/mm]
b) f(x)= [mm] (x^2+2)^4
[/mm]
c) f(x)= [mm] \bruch{3}{2+x^2}
[/mm]
d) f(x)= [mm] \wurzel{x^2+1}
[/mm]
e) f(x)= [mm] \bruch{t}{(tx+1)^2}
[/mm]
f) f(x)= [mm] cos(ax^2) [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte da mal eine Korrektur.
a) f'(x)= [mm] -15(6-5x)^2 [/mm] ; f''(x)= 150(6-5x)
b) f'(x)= [mm] 8x(x^2+2) [/mm] ; f''(x)= [mm] 24x^2+16
[/mm]
c) f'(x)= [mm] \bruch{-6x}{(2+x^2)^2} [/mm] ; f''(x)= [mm] \bruch{-12+18x^2}{(2+x^2)^2}
[/mm]
d) f'(x)= [mm] \wurzel{x}(x^2+1) [/mm] ; f''(x)= [mm] (1/2)x+\wurzel{x}+2x*\wurzel{x}
[/mm]
e) f'(x)= [mm] \bruch{1-2t^2}{(tx+1)^2} [/mm] ; f''(x)= [mm] \bruch{-1+4t^2}{x+1}
[/mm]
f) f'(x)= [mm] -sin(ax^2)*2ax [/mm] ; f''(x)= - [mm] cos(ax^2)*4a^2x^2-sin(ax^2)*2a..man [/mm] könnte hier noch 2a ausklammern
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Hallo,
danke, ich habs nochmal versucht:
b) f''(x)= [mm] (x^2+2)^2*(8+48x^2)
[/mm]
c) ja da muss eine 3 stehen, aber:
nachdem man [mm] (2+x^2) [/mm] gekürzt hat steht da ja:
[mm] -6(2+x^2)+24x^2
[/mm]
darf man dann nochmal die [mm] (2+x^2) [/mm] kürzen und dann würde rauskommen:
[mm] (-6+24x^2)/(2+x^2)^2
[/mm]
nur mal so aus interesse.
d) wie kommst du darauf? ich hab so gerechnet:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(x^2+1)*2x [/mm]
und dann hab ich den ersten bruch mit 2x multipliziert und mit [mm] \wurzel{x} [/mm] erweitert und da kam bei mir einfach [mm] \wurzel{x} [/mm] raus.
e)
ja hast recht, ich hab vergessen dass die Ableitung von t, 0 ist weil man ja nach x auflöst =/
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> Hallo,
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> danke, ich habs nochmal versucht:
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> b) f''(x)= [mm](x^2+2)^2*(8+48x^2)[/mm]
Wie kommt man auf so etwas?
[mm](8x(x^2+2)^3)'=8(x^2+2)^3+8x*3(x^2+2)^2*2x=\underline{\underline{8(x^2+2)^3+48x^2(x^2+2)^2}}[/mm]
>
> c) ja da muss eine 3 stehen, aber:
> nachdem man [mm](2+x^2)[/mm] gekürzt hat steht da ja:
> [mm]-6(2+x^2)+24x^2[/mm]
> darf man dann nochmal die [mm](2+x^2)[/mm] kürzen und dann würde
> rauskommen:
Das ist vielleicht ein Kauderwelsch. Richtig ist:
> [mm](-6+24x^2)/(2+x^2)^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> nur mal so aus interesse.
[mm](\frac{-6x}{(2+x^2)^2})'=\frac{(-6)*(2+x^2)^2\;\;-\;\;(-6x*2(2+x^2)*2x)}{(2+x^2)^4}=\frac{2+x^2}{2+x^2}*\frac{-6(2+x^2)\;\;+24x^2}{(2+x^2)^3}=\frac{18x^2-12}{(2+x^2)^3}=\frac{6(3x^2-2)}{(2+x^2)^3}[/mm]
Jetzt verstehe ich, was du kürzen möchtest. Also alles, was du ausklammer kannst, darfst du kürzen. (Bis auf die Null, die man auch nicht ausklammer kann)
>
> d) wie kommst du darauf? ich hab so gerechnet:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}*(x^2+1)*2x[/mm]
> und dann hab ich den ersten bruch mit 2x multipliziert und
> mit [mm]\wurzel{x}[/mm] erweitert und da kam bei mir einfach
> [mm]\wurzel{x}[/mm] raus.
Das halte ich für ein Gerücht!
[mm](\sqrt{x^2+1})'=((x^2+1)^{0.5})'=0.5*(x^2+1)^{\blue{-0.5}}*2x=\frac{0.5*2x}{(x^2+1)^{0.5}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}[/mm]
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> e)
> ja hast recht, ich hab vergessen dass die Ableitung von t,
> 0 ist weil man ja nach x auflöst =/
>
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Naja man kommt bei b auf sowas indem man von deinem Ergenis [mm] (x^2+2)^2 [/mm] ausklammert?
zu d)
was meinst mit Gerücht? Man kanns aber doch so machen oder etwa nicht?
und wenn man das so macht wie du. wie kommt man darauf?
ich mein es heißt ja eigentlich so:
[mm] 0,5*x^{-0.5}*(x^2+1)*2x [/mm] ---> wie kann man da einfach das x mit [mm] (x^2+1) [/mm] ersetzen?
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Ein ganz Ruhig.
Sage mir genau, wo du [mm](x^2+2)^2 [/mm] ausklammern möchtest.
[mm] (\frac{-6x}{(2+x^2)^2})'=\frac{(-6)\cdot{}(2+x^2)^2\;\;-\;\;(-6x\cdot{}2(2+x^2)\cdot{}2x)}{(2+x^2)^4}=\frac{2+x^2}{2+x^2}\cdot{}\frac{-6(2+x^2)\;\;+24x^2}{(2+x^2)^3}=\frac{18x^2-12}{(2+x^2)^3}=\frac{6(3x^2-2)}{(2+x^2)^3} [/mm]
> was meinst mit Gerücht? Man kanns aber doch so machen oder etwa nicht?
Es ist falsch.
> ich mein es heißt ja eigentlich so: [mm] 0,5\cdot{}x^{-0.5}\cdot{}(x^2+1)\cdot{}2x [/mm]
Nein! Wie kommst du nur darauf?
Es gilt [mm](f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)[/mm] (Kettenregel)
Also ist [mm]\blue{f(x)=\sqrt{x}=x^{0.5}}[/mm] und [mm]\red{g(x)=x^2+1}[/mm]. Die Ableitungen sind[mm]\green{f'(x)=0.5x^{-0.5}}[/mm] und [mm]{\color{cyan}g'(x)=2x}[/mm]Insgesamt können wir jetzt die Kettenregel anwenden:
[mm]\blue{\sqrt{\red{x^2+1}}}=\blue{(\red{x^2+1})^{0.5}}=\blue{f(\red{g(x)})}[/mm]
Ableiten:
[mm](\blue{f(\red{g(x)})})'=\green{f'(\red{g(x)})}*{\color{cyan}g'(x)}=\green{0.5*(\red{x^2+1})^{-0.5}}*{\color{cyan}2x}[/mm]
[mm] (\sqrt{x^2+1})'=((x^2+1)^{0.5})'=0.5\cdot{}(x^2+1)^{\blue{-0.5}}\cdot{}2x=\frac{0.5\cdot{}2x}{(x^2+1)^{0.5}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} [/mm]
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Achsoo verdammt ich hab das ja völlig falsch abgeleitet mit der Wurzel! danke dir! =)
und du hast geschrieben:
Wie kommt man auf so etwas?
$ [mm] (8x(x^2+2)^3)'=8(x^2+2)^3+8x\cdot{}3(x^2+2)^2\cdot{}2x=\underline{\underline{8(x^2+2)^3+48x^2(x^2+2)^2}} [/mm] $
hier meinte ich das mit dem [mm] (x^2+2) [/mm] ausklammern.
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> Achsoo verdammt ich hab das ja völlig falsch abgeleitet
> mit der Wurzel! danke dir! =)
>
> [mm](8x(x^2+2)^3)'=8(x^2+2)^3+8x\cdot{}3(x^2+2)^2\cdot{}2x=\blue{\underline{\underline{8(x^2+2)^3+48x^2(x^2+2)^2}}}[/mm]
>
> hier meinte ich das mit dem [mm](x^2+2)[/mm] ausklammern.
>
Ja hier kann man sogar [mm](x^2+2)^2[/mm] ausklammer
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
