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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 26.02.2005 | | Autor: | enphant |
Hallo zusammen. Ich hab da ein kleines Problem mit der Ableitung dieser Funktion: d(v)= v/(l+t*v+(1/2b)*v²
ich weiß nicht ob ich sie hier richtig abgeleitet habe: d(v)'= [mm] (v+v²+3bv^3-l-(1/2b))/(l²+t)
[/mm]
in die funktion kann man auch folgende werte einsetzen l= 5 , t= 1,5 und b=7
allerdings hat mir das bei der bildung der Ableitung nicht sehr viel geholfen!Für mich sieht das hier nach viel mehr Zahlenwirrwarr aus d(v)= v/(5+1,5v+(1/14)v²) und d(v)'= [mm] (5-(97/14)v²)/(25+(9/4)v²+(1/196)v^4)
[/mm]
also kann mir da jemand mit einer ausführlichen Ableitung einer der beiden Funkionen helfen?
enphant
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, enphant (oder "enfant"?)
ich schreib' erst mal der Term so wie ich ihn verstehe:
d(v) = [mm] \bruch{v}{l+tv+\bruch{1}{2b}v^{2}} [/mm]
("l" ist blöd gewählt als Konstante!)
Quotientenregel: (Ich kürze den ursprünglichen Nenner mit N ab!)
d'(v) = [mm] \bruch{1*N - v*(t+\bruch{1}{b}v)}{N^{2}} [/mm] =
= [mm] \bruch{l - \bruch{1}{2b}v^{2}}{N^{2}} [/mm]
Übrigens: Den Nenner wirklich auszumultiplizieren bringt nix! Lass' es ruhig als "Klammer hoch 2" stehen! Nur der Zähler ist wichtig!
Was musst Du nun mit der Ableitung tun? Extrempunkt? Dann erhältst Du zunächst mal: v = 2b*l.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 27.02.2005 | | Autor: | enphant |
hallo zwerglein! danke für die schnelle Antwort :)
Ja ich wollte nun eine vollstänfige Kurvendiskussion durchführen.
Kann aber die zweite Ableitung genauso wenig wie die erste Ableitung bilden. wäre super wenn du mir auch dabei unter die Arme greifen könntest
vielen dank für die Hilfe
enphant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 27.02.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
du hast also eine Funktion
[mm]d(v) = \bruch{v}{l+tv+\bruch{1}{2b}v^{2}}[/mm]
und suchst die erste und zweite Ableitung. Wenn du das Ableiten beim ersten Schritt verstanden hast, dann geht der zweite Schritt ganz analog. Ich versuche also, den ersten Schritt noch einmal etwas deutlicher zu machen:
Die Quotientenregel besagt:
Falls deine Funktion ein Quotient von zwei Funktionen ist, also
[mm]f(v)=\bruch{g(v)}{h(v)}[/mm]
dann kann man die Ableitung berechnen durch
[mm]f'(v)=\bruch{g'(v) \cdot h(v) - g(v) \cdot h'(v)}{(h(v))^2}[/mm].
Was hast du also hier?
$f(v)$ ist $d(v)$
und außerdem ist [mm]g(v)=v[/mm]
sowie [mm]h(v)=l+tv+\bruch{1}{2b}v^{2}[/mm]
Du mußt also einfach nur einsetzen:
[mm]d'(v)=\bruch{g'(v) \cdot h(v) - g(v) \cdot h'(v)}{(h(v))^2}= \bruch{1 \cdot (l+tv+\bruch{1}{2b}v^{2}) - v \cdot (t+\bruch{1}{b}v)}{(l+tv+\bruch{1}{2b}v^{2})^2}= ...[/mm]
Dabei solltest du auf das bekannte Ergebnis kommen.
Wenn du das einmal nachvollzogen hast, gehst du an die zweite Ableitung genauso heran. Melde dich am besten, wenn du irgendwo steckenbleibst.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 28.02.2005 | | Autor: | enphant |
hi zusammen...
ich glaube ich ich hab diese quotientenregel begriffen, komme aber immer wieder auf ein anderes ergebnis. mittlerweile habe ich fast die gleiche ableitung wie zwerglein und frage mich nun ob seine oder meine ableitung richtig ist. daher hier meine zum vergleich: d'(v)= [mm] \bruch{L- \bruch{v²}{2b}}{L+tv+ \bruch{v²}{2b}²}
[/mm]
von diesem hab ich auch die zweite ableitung versucht und bin uaf folgendes ergebnis gekommen: d''(v)= [mm] \bruch{ -\bruch{v²}{2b}* (L+tv+ \bruch{v²}{2b})*(-Lv²-2L\bruch{v}{b}-\bruch{v}{b}²*L)}{(L+tv+\bruch{v²}{2b}*L)^{4}}
[/mm]
ich hoffe irgendjemand blickt da ein wenig drch, ich fürchte ich schaff das nich so ganz
mfg enphant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Astrid |
> hi zusammen...
> ich glaube ich ich hab diese quotientenregel begriffen,
> komme aber immer wieder auf ein anderes ergebnis.
> mittlerweile habe ich fast die gleiche ableitung wie
> zwerglein und frage mich nun ob seine oder meine ableitung
> richtig ist. daher hier meine zum vergleich: d'(v)=
> [mm]\bruch{L- \bruch{v²}{2b}}{L+tv+ \bruch{v²}{2b}²}
[/mm]
>
Du meinst sicher
[mm]d'(v)= \bruch{L- \bruch{v²}{2b}}{(L+tv+ \bruch{v²}{2b})²}[/mm]
Ja, ich glaube Zwerglein hat dort das "hoch 2" vergessen, ich komme auch auf dein Ergebnis.
> von diesem hab ich auch die zweite ableitung versucht und
> bin uaf folgendes ergebnis gekommen: d''(v)= [mm]\bruch{ -\bruch{v²}{2b}* (L+tv+ \bruch{v²}{2b})*(-Lv²-2L\bruch{v}{b}-\bruch{v}{b}²*L)}{(L+tv+\bruch{v²}{2b}*L)^{4}}
[/mm]
Ich glaube, hier haben sich doch noch ein paar Fehler eingeschlichen... Aber das ist bei dieser unübersichtlichen Funktion auch kein Wunder. 
Ich versuchs mal:
[mm]d''(v)=\bruch{(-2 \cdot \bruch{v}{2b}) \cdot (L+tv+ \bruch{v²}{2b})^2 - (L- \bruch{v²}{2b}) \cdot (2*(L+tv+ \bruch{v²}{2b})*(t+\bruch{v}{b}))}{(L+tv+\bruch{v²}{2b})^{4}}[/mm]
Beachte auch immer die innere Ableitung (Stichwort Kettenregel!)
Das könnte man sicher noch "vereinfachen", die Frage ist nur wie sinnvoll das wäre....
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> [mm]d''(v)=\bruch{(-2 \cdot \bruch{v}{2b}) \cdot (L+tv+ \bruch{v²}{2b})^2 - (L- \bruch{v²}{2b}) \cdot (2*(L+tv+ \bruch{v²}{2b})*(t+\bruch{v}{b}))}{(L+tv+\bruch{v²}{2b})^{4}}[/mm]
Auf jeden Fall kann man hier noch den Ausdruck [mm] $\left(L + tv + \bruch{v^2}{2b}\right)$ [/mm] kürzen, was auf jeden Fall Sinn macht.
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 28.02.2005 | | Autor: | enphant |
hey super...vielen dank!
ich glaube wenn man kürzt bekommt man diese zweite Ableitung als Ergebnis:
d'(v)=(-2 [mm] \bruch{v}{2b})-(L- \bruch{v²}{2b})(2t+2 \bruch{v}{b})
[/mm]
ich bin mir nur etwas unsicher ob man den Ausdruck (L+tv+ [mm] \bruch{v²}{2b}) [/mm] überhaupt kürzen darf und wenn ja ob ich es hier richtig gemacht habe.
enphant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> hey super...vielen dank!
>
> ich glaube wenn man kürzt bekommt man diese zweite
> Ableitung als Ergebnis:
> d'(v)=(-2 [mm]\bruch{v}{2b})-(L- \bruch{v²}{2b})(2t+2 \bruch{v}{b})
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wir wollten ja "nur" durch [mm] $\left( L + tv + \bruch{v^2}{2b}\right)^{\blue{1}}$ [/mm] kürzen ...
Unser ungekürztes Ergebnis war:
[mm]d''(v)=\bruch{(-2 * \bruch{v}{2b}) * (L+tv+ \bruch{v^2}{2b})^2 - (L- \bruch{v^2}{2b}) * 2 * (L+tv+ \bruch{v^2}{2b})^{\blue{1}} * (t+\bruch{v}{b}))}{(L+tv+\bruch{v^2}{2b})^{4}}[/mm]
[mm]d''(v)=\bruch{(-2 \cdot \bruch{v}{2b}) * (L+tv+ \bruch{v^2}{2b})^{\red{1}} - (L- \bruch{v^2}{2b}) * 2 * \red{1} * (t+\bruch{v}{b})}{(L+tv+\bruch{v^2}{2b})^{\red{3}}}[/mm]
Nun kannst Du im Zähler noch "etwas" zusammenfassen (ausmultiplizieren), wenn Du möchtest ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 28.02.2005 | | Autor: | enphant |
nochmal hallo...
da ich mit einem buch arbeite das mit irgendwie nich ganz geheuer scheint, habe ich noch eine weitere frage zu dieser Funktion.
in dem Buch steht nach der ersten Ableitung geschrieben:
d'(v) gleichheitszeichen mit einem ausrufezeichen darüber =0
und in der nächsten Zeile steht dann [mm] v_{opt}= \wurzel{2Lb}
[/mm]
als erstes verstehe ich das gleichzeichen mit dem ausrufezeichen nich, ich habe auch nur widersprüchige Definitionen dafür gefunden, die mir nicht helfen konnten und mir kommt das Ergebnis seltsam vor, da ich für v=2lb rausbekommen habe. vll kann mir jemand helfen?!
danke...enphant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo enphant!
> in dem Buch steht nach der ersten Ableitung geschrieben:
> d'(v) gleichheitszeichen mit einem ausrufezeichen darüber =0
Ich würde das so interpretieren, daß hier das notwendige Kriterium gilt (für eine Extremstelle muß ja die 1. Ableitung gleich Null sein, das sollte hier meines Erachtens mit dem Ausrufezeichen ausgedrückt werden).
> und in der nächsten Zeile steht dann [mm]v_{opt}= \wurzel{2Lb}[/mm]
Na, schauen wir uns mal die 1. Ableitung mal an. Sie lautet doch:
[mm]d'(v) \ = \ \bruch{L- \bruch{v^2}{2b}}{(L + tv + \bruch{v^2}{2b})^2}[/mm]
Damit ein Bruch gleich Null wird, muß der Zähler gleich Null sein:
[mm]d'(v) \ = \ 0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]L- \bruch{v^2}{2b} \ = \ 0[/mm] $| \ + [mm] \bruch{v^2}{2b}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]L \ = \ \bruch{v^2}{2b}[/mm] $| \ * 2b$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]2*b*L \ = \ v^2[/mm] $| \ [mm] \wurzel{...}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$v \ = \ [mm] \pm \wurzel{2*b*L}$
[/mm]
(Das negative Ergebnis wird physikalisch wohl nicht sinnvoll sein ...)
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 28.02.2005 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich habe es auch mal durchgerechnet.
Ich habe folgende Lösung:
Ableitung nach v mit der Quotientenregel.
d´(v) = [mm] \bruch{(l+vt+ \bruch{v^2}{2b})-v*(l+t+ \bruch{2v}{2b})}{(l+vt+ \bruch{v^2}{2b})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{l+vt+ \bruch{v^2}{2b}-vl-vt- \bruch{2v^2}{2b}}{(l+vt+ \bruch{v^2}{2b})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{l- \bruch{v^2}{2b}-vl}{(l+vt+ \bruch{v^2}{2b})^2}
[/mm]
Nun müsste es fertig sein, da man weder ausklammern kann noch kürzen kann.
Gruß,
Dominic
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