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| Aufgabe | Bestimme die 1. und 2. Ableitung der Funktionen.
a) f(x)=sin x * (cos x - sin x)
b) f(x)= 3 sin 2 x + 2 [mm] cos^{2}x [/mm] + 4 [mm] sin^{2}x
[/mm]
Tipp: Fasse gegebenenfalls den entstehenden Funktionsterm mithilfe der Additionstheoreme zusammen. |
Hi , ich hätte gerne gewusst , ob meine Rechnungen richtig sind.
Bei der Aufgabe a) war es eigentlich noch sehr einfach aber bei Aufgabe b) blicke ich überhaupt nicht durch.
f(x) = sin x * (cos x - sin x)
f´(x) = cos x( cos x - sin x) + sin x ( -sin x - cos x)
= [mm] cos^{2}x [/mm] - sinx * cos x - [mm] sin^{2}x [/mm] - sin x *cos x
= 1-2 [mm] sin^{2}x [/mm] - 2 sin x * cos x
= 1-2 [mm] sin^{2}x [/mm] - sin 2 x
f´´(x)= -2 sin 2 x - 2 cos 2 x
b)
f(x) =3 sin 2 x + 2 [mm] cos^{2}x [/mm] + 4 [mm] sin^{2}x
[/mm]
f´(x) = ???
f´´(x) = ???
Tut mir leid ich hab nichtmal ansatzweise nen Schimmer , wie ich jetzt weiter vorgehe. hat vielleicht jemand nen tipp oder sowas ? :)
Danke schonmal im vorraus
Gruß
Mathe_Hannes
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Hej,
Zum Nachrechnen der a) fehlt mir gerade leider die Zeit. Für b) hab ich aber vielleicht einen passenden Hinweis für dich. Evtl. findest du diesen Hinweis sogar in deiner Formelsammlung (wahrscheinlich recht versteckt, da es nicht sooo üblich ist):
Laut meiner Formelsammlung (W. Göhler) gilt: sin(2x) = 2 * sin(x) * cox (x)
Wenn du dir jetzt noch anschaust, wie deine Funktion in Teil b) ausschaut... auf was kommst du dann? Ok, mag nicht ganz offensichtlich sein, aber evtl. kriegst du es ja mit ein wenig scharf hinsehen hin: Binomische Formel!
Ich rechne das mal kurz:
f(x) = 3 * sin(2x) + 2 * [mm] cos^{2}(x) [/mm] + 4 * [mm] sin^{2}(x)
[/mm]
<=> (ich mache hinten eine Null-Addition mit einer quadratischen Ergänzung)
f(x) = 3 * sin(2x) + 2 * [mm] cos^{2}(x) [/mm] + 4 * [mm] sin^{2}(x) [/mm] + 4 * [mm] \wurzel{2} [/mm] * sin(x) * cos(x) - 4 * [mm] \wurzel{2} [/mm] * sin(x) * cos(x)
<=> (ich fasse das Binom zusammen und schreibe den ferbliebenen Rest dahinter)
f(x) = ( [mm] \wurzel{2} [/mm] * cos(x) + 2 * sin(x) [mm] )^{2} [/mm] + (3 - 4 * [mm] \wurzel{2}) [/mm] * sin(x) * cos(x)
Ob das nun so einfacher ist... hmmm.
Alternativ wäre auch die Möglichkeit über die Gesetze zu "Halben und Doppelten Winkeln" zu gehen.
Hierfür wissen wir: [mm] sin^{2}(x) [/mm] = 0.5 * ( 1 - cos(2x) ) und [mm] cos^{2}(x) [/mm] = 0.5 * ( 1 + cos(2x) ).
In diesem Fall ergibt sich:
f(x) = 3 * sin(2x) + 2 * [mm] cos^{2}(x) [/mm] + 4 * [mm] sin^{2}(x)
[/mm]
<=>
f(x) = 3 * sin(2x) + 2 * (0.5 * ( 1 + cos(2x) )) + 4 * (0.5 * ( 1 - cos(2x) ))
<=> (umformen)
f(x) = 3 * sin(2x) + 1 * ( 1 + cos(2x) ) + 2 * ( 1 - cos(2x) )
<=> (weiter umformen)
f(x) = 3 * sin(2x) + 1 + cos(2x) + 2 - 2 cos(2x)
<=> (immer noch umformen)
f(x) = 3 * sin(2x) + 3 - cos(2x)
Doch... ich finde das schaut besser aus.
Nach dem was du oben gerechnet hast, nehme ich richtig an, dass ihr die Ableitungsregeln (Ketten-, Produkt-Regel usw. schon hattet?).
Ansonsten hilft es dir vielleicht, wenn ich dir noch sagen:
g(x) = sin(2x) => g'(x) = 2 * cos(2x).
Solltest du noch mehr Ableitungsregeln benötigen, findest du sie in deiner Formelsammlung oder ![[]](/images/popup.gif) hier bei ZUM.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun mal weiter huscht
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Ich danke euch beiden für die Hilfe. Am Montag schreib ich eine wichtige Mathe Klausur und ihr habt mir sehr geholfen .
Gruß
Mathe_Hannes
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
