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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 16.02.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | Führen Sie eine Kurbendiskussion durch:
f(x) = [mm] 8*\bruch{ln(x)}{x} [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Ich muss hierzu, wie oben erwähnt, eine Kurvendiskussion durchführen.
Also bisher weiß ich nur oder denke zu wissen, dass
[mm] D=\IR+
[/mm]
ist!
Leider habe ich garnicht so rehct verstanden, wie man diese Art von Funktionen ableitet!
Kann mir da vielleicht nochmal jemand helfen?
Achso...und auch die Nullestellen. Da reicht es ja, den Zähler null zu setzten, aber wie löse ich dann die Gleichung
8*ln(x) = 0
???
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!!!
AMY
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 18.02.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Einen schönen guten Abend allerseits 
Ich habe die Aufgabe jetzt mal auf eigene Faust versucht zu lösen...rausgekommen ist folgendes:
(1) [mm] D=\IR
[/mm]
(2)NULLSTELLEN
[mm] 8*\bruch{ln(x)}{x}=0 [/mm] <=> 8*ln(x)=0
[mm] 8\not=0 [/mm] oder ln(x)=0
x=1
(3)ABLEITUNGEN
[mm] f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}*8
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-3+2ln(x)}{x^3}*8
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{11-6ln(x)}{x^4}*8
[/mm]
(4)EXTREMA
f'(x)=0 und [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
[mm] \bruch{1-ln(x)}{x^2}=0 [/mm] <=> 1-ln(x)*8=0
1-ln(x)=0 oder [mm] 8\not=0
[/mm]
x=e-1
Beim Überprüfen, bzw. dem Bestimmen des y-Wertes habe ich Probleme, weil wir das ganze wenn in Abhängigkeit von e angeben sollen und ich mich oimmer verrechne!!!
(5)WENDESTELLEN
f''(x)=0 und [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
[mm] \bruch{-3+2ln(x)}{x^3}*8=0 [/mm] <=> -3+2ln(x)*8=0
-3+2ln(x)=0 oder [mm] 8\not=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{1-e^{-3}}{2}
[/mm]
Hier wieder das selbe problem wie bei den Extrema!!!
Dann wurde uns etwas von Asymptoten gesagt, die wir folgendermaßen überprüfen sooeln, falls jemand weiß, wofür das genau gut ist und was es mir aussagen soll, kann er es gerne posten
(6)ASYMPTOTEN
Für [mm] x\to0 [/mm] gilt [mm] f(x)\to-\infty
[/mm]
Für [mm] x\to+\infty [/mm] gilt [mm] f(x)\to0
[/mm]
Jetzt fehlt glaube ich nur noch die Symmertrie, die ich nicht recht zu bestimmen weiß...
Ich weiß, das ist ne ganze Menge, aber ich hoffe trotzdem auf jemanden, der sich dem annimmt, damit ich wenigsten eine richtige Aufgabe habe, die ich dann übertargen kann!
Vielen Dank schonmal AMY
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> Einen schönen guten Abend allerseits
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> Ich habe die Aufgabe jetzt mal auf eigene Faust versucht zu
> lösen...rausgekommen ist folgendes:
>
> (1) [mm]D=\IR[/mm]
> (2)NULLSTELLEN
> [mm]8*\bruch{ln(x)}{x}=0[/mm] <=> 8*ln(x)=0
> [mm]8\not=0[/mm] oder ln(x)=0
> x=1
> (3)ABLEITUNGEN
> [mm]f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x^2}*8[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{-3+2ln(x)}{x^3}*8[/mm]
> [mm]f'''(x)=\bruch{11-6ln(x)}{x^4}*8[/mm]
> (4)EXTREMA
> f'(x)=0 und [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> [mm]\bruch{1-ln(x)}{x^2}=0[/mm] <=> 1-ln(x)*8=0
> 1-ln(x)=0 oder [mm]8\not=0[/mm]
> x=e-1
>
> Beim Überprüfen, bzw. dem Bestimmen des y-Wertes habe ich
> Probleme, weil wir das ganze wenn in Abhängigkeit von e
> angeben sollen und ich mich oimmer verrechne!!!
> (5)WENDESTELLEN
> f''(x)=0 und [mm]f'''(x)\not=0[/mm]
> [mm]\bruch{-3+2ln(x)}{x^3}*8=0[/mm] <=> -3+2ln(x)*8=0
> -3+2ln(x)=0 oder [mm]8\not=0[/mm]
> [mm]x=\bruch{1-e^{-3}}{2}[/mm]
>
> Hier wieder das selbe problem wie bei den Extrema!!!
>
> Dann wurde uns etwas von Asymptoten gesagt, die wir
> folgendermaßen überprüfen sooeln, falls jemand weiß, wofür
> das genau gut ist und was es mir aussagen soll, kann er es
> gerne posten
> (6)ASYMPTOTEN
> Für [mm]x\to0[/mm] gilt [mm]f(x)\to-\infty[/mm]
> Für [mm]x\to+\infty[/mm] gilt [mm]f(x)\to0[/mm]
>
> Jetzt fehlt glaube ich nur noch die Symmertrie, die ich
> nicht recht zu bestimmen weiß...
>
> Ich weiß, das ist ne ganze Menge, aber ich hoffe trotzdem
> auf jemanden, der sich dem annimmt, damit ich wenigsten
> eine richtige Aufgabe habe, die ich dann übertargen kann!
>
> Vielen Dank schonmal AMY
Hallo Amy1988,
die Ableitungen hast du alle richtig gemacht, die Nullstelle stimmt auch.
Bei der Berechnung der Extremstelle ist dir ein klitze-kleiner Fehler unterlaufen:
Du hattest es richtig bis zu dieser Stelle: 1-ln(x)=0 Hier kam ein kleiner Fehler. Richtig ist:
1-ln(x)=0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] ln(x)=1 [mm] \Leftrightarrow e^{ln(x)}=e^1 \Leftrightarrow [/mm] x=e. Kandidat für eine Extremstelle ist also x=e
[mm] f''(e)=8\bruch{-3+2ln(e)}{e^3}=-\bruch{8}{e^3}<0, [/mm] also liegt ein Hochpunkt an der Stelle x=e vor
[mm] f(e)=\bruch{8ln(e)}{e}=\bruch{8}{e}, [/mm] also [mm] HP=\left(e/\bruch{8}{e}\right)
[/mm]
zu den Wendestellen
das war auch wieder richtig bis kurz vorm Ziel ;) Es stimmte -3+2ln(x)=0
nun [mm] \Leftrightarrow [/mm] 2ln(x)=3 [mm] \Leftrightarrow ln(x)=\bruch{3}{2} \Leftrightarrow x=e^{\bruch{3}{2}}=\wurzel{e^3} [/mm] . Also ist [mm] \wurzel{e^3} [/mm] Kandidat für eine Wendestelle.
[mm] f'''(\wurzel{e^3})=8\bruch{11-6ln(\wurzel{e^3})}{(\wurzel{e^3})^4}=8\bruch{11-6ln(e\wurzel{e})}{e^6}
[/mm]
[mm] =8\bruch{11-6(ln(e)+ln(\wurzel{e})}{e^6}=8\bruch{5-6ln(\wurzel{e})}{e^6} \ne [/mm] 0
Also liegt eine Wendestelle bei [mm] x=\wurzel{e^3}
[/mm]
[mm] f(\wurzel{e^3})=8\bruch{ln(\wurzel{e^3})}{\wurzel{e^3}}=8\bruch{1+ln(\wurzel{e})}{\wurzel{e^3}}
[/mm]
Also [mm] WP=\left(\wurzel{e^3} / 8\bruch{1+ln(\wurzel{e})}{\wurzel{e^3}}\right)
[/mm]
Das Verhalten für [mm] x\rightarrow [/mm] 0 und [mm] x\rightarrow\infty [/mm] hast du auch richtig,
daraus und aus dem Definitionsbereich folgt übrigens auch, dass es keine Symmetrie gibt.
Alles in allem gut gelöst!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Di 20.02.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Also erstmal VIELEN, VIELEN DANK!!!
Das hat mirwirklich sehr geholfen und mich ein wenig ermutigt, weil ich ja doch einiges richtig gemacht habe
Eine Frage ist bei mir jetzt noch offen geblieben und zwar, warum mache ich das mit
[mm] x\to0 [/mm] bzw. [mm] +\infty
[/mm]
Was bringt mir das genau?
GLG
Amy
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Hallo Amy!
Diese Grenzwertbetrachtungen sollen einem zeigen, wie sich die Kurve der Funktion an den Definitionsrändern verhält, ob es z.B. Asymptoten gibt.
Dies ist eine weitere Hilfe zum skizzieren der Funktionskurve.
Auch bei eventuellen weiterführenden Aufgaben mit (uneigentlichen) Integralen sind derartige Infos hilfreich, um nicht zu sagen unerlässlich.
Gruß vom
Roadrunner
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Der Nenner darf nicht =0 werden und der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. 
Kettenregel![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
