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| Aufgabe | | Ableitung [mm] \bruch{1}{3}\wurzel{x³ - 3x²} [/mm] |
f´(x) = [mm] \bruch{1}{3}(x³ [/mm] - [mm] 3x²)^{0.5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}(x³ [/mm] - [mm] 3x²)^{-0.5}\*(3x² [/mm] - 6x) = [mm] \bruch{0,5x² - x}{\wurzel{x³ - 3x²}}
[/mm]
2. Abl. u = 0,5x² - x u´= x-1
v = [mm] \wurzel{x³ - 3x²} [/mm] v´= [mm] \bruch{1,5x² - 3x}{\wurzel{x³ - 3x²}}
[/mm]
f´´(x) = [mm] \bruch{(x-1)\wurzel{x³ - 3x²} - (\bruch{1,5x² - 3x}{\wurzel{x³ - 3x²}})(0,5x² - x)}{x³ - 3x²}
[/mm]
Mein Ergebnis: f´´(x) = [mm] \bruch{0,25x^{4} - x³}{(x³ - 3x²)^{1.5}}
[/mm]
Hallo,
kann bitte jemand die Ergebnisse überprüfen? Bei der 2. Ableitung bin ich mir nämlich ziemlich sicher das ich da was falsch gemacht habe. Schon mal vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ableitung [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{x³ - 3x²}[/mm]
> f´(x) =
> [mm]\bruch{1}{3}(x³[/mm] - [mm]3x²)^{0.5}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}(x³[/mm] -
> [mm]3x²)^{-0.5}\*(3x²[/mm] - 6x) = [mm]\bruch{0,5x² - x}{\wurzel{x³ - 3x²}}[/mm]
>
> 2. Abl. u = 0,5x² - x u´= x-1
> v = [mm]\wurzel{x³ - 3x²}[/mm] v´= [mm]\bruch{1,5x² - 3x}{\wurzel{x³ - 3x²}}[/mm]
>
> f´´(x) = [mm]\bruch{(x-1)\wurzel{x³ - 3x²} - (\bruch{1,5x² - 3x}{\wurzel{x³ - 3x²}})(0,5x² - x)}{x³ - 3x²}[/mm]
>
> Mein Ergebnis: f´´(x) = [mm]\bruch{0,25x^{4} - x³}{(x³ - 3x²)^{1.5}}[/mm]
>
Ich habe nachgerechnet und komme auf das selbe Resultat ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wobei du eigentlich von Anfang an
[mm]\bruch{1}{3}\wurzel{x³ - 3x²}=\bruch{1}{3}*x*\wurzel{x - 3}[/mm] schreiben könntest (x>0).
Gruss
EvenSteven
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Vorsicht! Unterscheide zwischen [mm]f(x)[/mm] und [mm]f'(x)[/mm] in der ersten Zeile deiner Rechnung. Fehlertyp: Mißbrauch des Gleichheitszeichens.
Die Funktion ist ja nur für [mm]x \geq 3[/mm] sinnvoll, die Differenzierbarkeit für [mm]x>3[/mm]. Hierfür gilt [mm]\sqrt{x^2} = x[/mm], so daß du die erste Ableitung vereinfachen kannst:
[mm]f'(x) = \frac{0{,}5x^2 - x}{\sqrt{x^3 - 3x^2}} = \frac{x(0{,}5x - 1)}{x \sqrt{x - 3}} = \frac{0{,}5x - 1}{\sqrt{x - 3}}[/mm]
Den Rest habe ich nicht im Detail nachgerechnet.
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