Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 15.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für die durch F(x,y) = 0 definierte Funktion y=y(x) leite man unter der Annahme, dass an der betreffenden Stelle [mm] f_y' \not= [/mm] 0 ist, und die ersten und zweiten Ableitungen von F stetig sind, die Relation
y'' = - [mm] \bruch{F_{xx}''F'_y^{2} - 2F''_{xy}F'_yF'_x + F''_{yy}F'^{2}_x}{F'^{3}_y} [/mm] her. |
Hallo und guten Abend!
bedeutet F''_{xx} dass die Funktion 2 mal nach x abgeleitet wurde?
ich weiß leider gar nicht wie ich an die aufgabe rangehen soll um das zu zeigen...
in unsrem skript hab ich das dazu gefunden:
F(x,y) und y=f(x) , also F(x,f(x)) und das abgeleitet gibt [mm] \bruch{dF}{dx}(x,f(x))+\bruch{dF}{dy}(x,f(x))f'(x)=0
[/mm]
aber das hat mir noch nicht weitergeholfen...
gruß riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 16.06.2006 | | Autor: | ardik |
> bedeutet $F''_{xx}$ dass die Funktion 2 mal nach x
> abgeleitet wurde?
ja.
edit: allerdings geht's mir wie mathemaduenn, dass ich diese irgendwie doppelt-gemoppelte Schreibweise noch nie gesehen habe und dass das aber nix heißen muss...
Ich kann es aber nur so deuten und das macht im Kontext ja auch Sinn.
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo Riley,
> gibt [mm]\bruch{dF}{dx}(x,f(x))+\bruch{dF}{dy}(x,f(x))f'(x)=0[/mm]
> aber das hat mir noch nicht weitergeholfen...
Das kann man schonmal nach f'(x) umstellen
f'(x)=.... (*)
und nochmal nach x ableiten(gibt f''(x)  )
Dabei gnadenlos Kettenregel anwenden und für f' wieder (*) einsetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
P.S.:
F''_{xx} hab ich noch nie gesehen höchsten [mm] F_{xx} [/mm] aber das muß nichts heißen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!!
Danke für deine Antwort! :)
Hab das ganze also mal nach f'(x) aufgelöst:
f'(x) = [mm] \bruch{ \bruch{dF}{dx}(x,f(x))}{\bruch{dF}{dy}(x,f(x))}
[/mm]
ist dann f(x)''=y'' ??
nur da muss ich auch irgendwie die Quotientenregel benutzen, oder? und immer nach x ableiten?
also
f''(x) = [mm] \bruch{\bruch{dF}{dy}(x,f(x)) \bruch{d²F}{(dx)²}(x,f(x)) - \bruch{dF}{dx} (x,f(x)) \bruch{d²F}{dxdy}(x,f(x))}{(\bruch{dF}{dy}(x,f(x)))²}
[/mm]
und für [mm] \bruch{d²F}{(dx)²}(x,f(x)) [/mm] brauch ich dann die Kettenregel? bzw ist das dann nicht wieder das gleiche wie oben, also f'(x) ?
ich glaub ich hab da sowieso noch ne grundlegenedere Frage, die ich besser vorher gestellt hätte... und zwar ham wir aufgeschrieben, dass nach der Kettenregel aus der Gleichung F(x,f(x))=0 diese Gleichung, also
[mm] \bruch{dF}{dx}(x,f(x))+\bruch{dF}{dy}(x,f(x))f'(x)=0 [/mm] folgt.
mir ist aber gar nicht ganz klar wie man darauf kommt, weil eigentlich erinnert mich die Gleichung mehr an die Produktregel, aber eigentlich haben wir da ja gar kein Produkt??
das wär echt cool, wenn du mir das noch erklären könntest... *please*
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> f'(x) = [mm]\bruch{ \bruch{dF}{dx}(x,f(x))}{\bruch{dF}{dy}(x,f(x))}[/mm]
>
> ist dann f(x)''=y'' ??
Ja.
> nur da muss ich auch irgendwie die Quotientenregel
> benutzen, oder? und immer nach x ableiten?
Ja.
> also
> f''(x) = [mm]\bruch{\bruch{dF}{dy}(x,f(x)) \bruch{d²F}{(dx)²}(x,f(x)) - \bruch{dF}{dx} (x,f(x)) \bruch{d²F}{dxdy}(x,f(x))}{(\bruch{dF}{dy}(x,f(x)))²}[/mm]
>
> und für [mm]\bruch{d²F}{(dx)²}(x,f(x))[/mm] brauch ich dann die
> Kettenregel? bzw ist das dann nicht wieder das gleiche wie
> oben, also f'(x) ?
>
> ich glaub ich hab da sowieso noch ne grundlegenedere Frage,
> die ich besser vorher gestellt hätte... und zwar ham wir
> aufgeschrieben, dass nach der Kettenregel aus der Gleichung
> F(x,f(x))=0 diese Gleichung, also
> [mm]\bruch{dF}{dx}(x,f(x))+\bruch{dF}{dy}(x,f(x))f'(x)=0[/mm]
> folgt.
> mir ist aber gar nicht ganz klar wie man darauf kommt,
> weil eigentlich erinnert mich die Gleichung mehr an die
> Produktregel, aber eigentlich haben wir da ja gar kein
> Produkt??
> das wär echt cool, wenn du mir das noch erklären
> könntest... *please*
Das ist die ![[]](/images/popup.gif) mehrdimensionale Kettenregel Die Jacobimatrix( Hier die Ableitung nach x) ist gleich dem Produkt der Jacobimatrizen.
F(x,f(x))=F(G(x))
dabei ist G(x)= [mm] \vektor{x \\ f(x)}
[/mm]
JG(x)= [mm] \vektor{1 \\ f'(x)}
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 18.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!!
Vielen dank für deine erklärung samt link! neh, ich check das noch nicht ganz. das mit den matrizen wie du geschrieben hast schon, aber warum wird die ableitung hier einmal nach x und einmal nach y addiert?
was passiert da genau?
F(x,f(x))=0 -> [mm] \bruch{dF}{dx}(x,f(x))+\bruch{dF}{dy}(x,f(x))f'(x)=0. [/mm]
weil hier hab ich doch keine matrizen ??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Du hast hier
F(G(x))
Kettenregel heißt ja:
F'(G(x))*G'(x)
> weil hier hab ich doch keine matrizen ??
Doch F'(x,y) ist eine (1,2) Matrix. Na gut man könnte auch Vektor sagen
Du kannst Dir ja mal die Jacobimatrizen hinschreiben und multiplizieren. Was kommt raus?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn.
Besten Dank für deine Hilfe!! Also die Aufgabe hab ich nun sogar fertig *juhu* - leider ohne die formel ganz zu verstehen.
also die kettenregel von F(G(x)) ist okay =). achso, dann entseht wie du gesagt hast die summe durch matrizenmultiplikation...´
hm ja, aber was für eine Matrix beschreibt F(G(x)) ?
welches ist die zweite jacobimatrix?
habs mal versucht:
F'(x) = F(x,f(x)) [mm] \vektor{1 \\ f'(x)} [/mm] = x + f(x) f'(x)
aber das stimmt so ja noch nicht... ??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> also die kettenregel von F(G(x)) ist okay =). achso, dann
> entseht wie du gesagt hast die summe durch
> matrizenmultiplikation...´
> hm ja, aber was für eine Matrix beschreibt F(G(x)) ?
F(G(x)) ist eine Zahl
F(G(x)) ist also eine Funktion [mm] R^1 \to R^1
[/mm]
Demzufolge muß (F(G(x)))' auch eine Funktion [mm] R^1 \to R^1 [/mm] sein.
Dabei ist G(x) eine Funktion [mm] R^1 \to R^2 [/mm] und F eine Funktion [mm] R^2 \to R^1
[/mm]
> welches ist die zweite jacobimatrix?
> habs mal versucht:
> F'(x) = F(x,f(x)) [mm]\vektor{1 \\ f'(x)}[/mm] = x + f(x) f'(x)
Also nochmal:
(F(G(x)))'=F'(G(x))*G'(x)=F'(x,f(x))*G'(x)
Die Ableitung von G hatte ich ja schon angegeben und was rauskommen muß weißt Du auch schon read?i=160737
Was muß also F'(x,f(x)) sein?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
thx a lot für deine erklärungen! ... iich glaub ich hab nun ein bissle mehr gecheckt... =))
also dann müsste F'(x, f(x)) = [mm] (\bruch{dF}{dx} [/mm] , [mm] \bruch{dF}{dy} [/mm] ) sein, mit G'(x) multipliziert:
[mm] (\bruch{dF}{dx} [/mm] , [mm] \bruch{dF}{dy} [/mm] ) [mm] \vektor{1 \\ f'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{dF}{dx} [/mm] (x,f(x) ) + [mm] \bruch{dF}{dy} [/mm] (x,f(x)) f'(x) ??
achso... d.h. ich muss die Funktionalmatrix von G(x) mit der von F('?) multiplizieren? und weil F aus dem [mm] R^2 [/mm] abbildet muss ich einmal nach x und einmal nach y ableiten?? und wenns [mm] R^n [/mm] wäre, dann hätte ich die ersten n partiellen ableitungen?
ist das dann nicht der gerade der grad f , vorausgesetzt das Bild liegt in R ??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> also dann müsste F'(x, f(x)) = [mm](\bruch{dF}{dx}[/mm] ,
> [mm]\bruch{dF}{dy}[/mm] ) sein, mit G'(x) multipliziert:
> [mm](\bruch{dF}{dx}[/mm] , [mm]\bruch{dF}{dy}[/mm] ) [mm]\vektor{1 \\ f'(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{dF}{dx}[/mm] (x,f(x) ) + [mm]\bruch{dF}{dy}[/mm] (x,f(x)) f'(x)
> ??
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> achso... d.h. ich muss die Funktionalmatrix von G(x) mit
> der von F('?) multiplizieren? und weil F aus dem [mm]R^2[/mm]
> abbildet muss ich einmal nach x und einmal nach y
> ableiten?? und wenns [mm]R^n[/mm] wäre, dann hätte ich die ersten n
> partiellen ableitungen?
Ja., wobei die ersten n partiellen Ableitungen = alle partiellen Ableitungen 
> ist das dann nicht der gerade der grad f , vorausgesetzt
> das Bild liegt in R ??
Ja das ist grad F ( bzw. [mm](grad F)^T[/mm] )
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 20.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
Vielen lieben dank für deine hilfe ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") - sonst hätte ichs wohl nie verstanden!!
gruß riley =))
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