Ableitung x^(sin x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 25.12.2007 | | Autor: | mary7 |
| Aufgabe | f(x) = x^(sin x)
f'(x) = x^(sin x) * (cos x * ln x + [mm] \bruch{sin x}{x}) [/mm] |
Hallo und fröhliche Weihnachten an alle,
ich habe eine Frage zum Ableiten der oberen Funktion. Die Aufgabe und die Lösung habe ich aus einem Mathebuch, allerdings ist mir der Lösungsweg nicht ganz klar.
Ich habe diese Aufgabe mit der Kettenregel abgeleitet. Ich habe mich an die Schreibweise
f(x) = u(v(x)) und
f'(x) = v'(x) * u'(v(x))
gehalten. u' ist bei mir u' = [mm] x^x [/mm] * (ln x + 1) und v' = cos x und dadurch kam ich zu folgendem Ergebnis:
f'(x) = cos x * x^(sin x) * (ln (x) + 1)
Statt dem Bruch [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] habe ich also 1 herausbekommen. Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank für jede Antwort!!!
Marie
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> f(x) = x^(sin x)
> f'(x) = x^(sin x) * (cos x * ln x + [mm]\bruch{sin x}{x})[/mm]
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> Hallo und fröhliche Weihnachten an alle,
>
> ich habe eine Frage zum Ableiten der oberen Funktion. Die
> Aufgabe und die Lösung habe ich aus einem Mathebuch,
> allerdings ist mir der Lösungsweg nicht ganz klar.
> Ich habe diese Aufgabe mit der Kettenregel abgeleitet. Ich
> habe mich an die Schreibweise
> f(x) = u(v(x)) und
> f'(x) = v'(x) * u'(v(x))
> gehalten. u' ist bei mir u' = [mm]x^x[/mm] * (ln x + 1) und v' = cos
> x und dadurch kam ich zu folgendem Ergebnis:
Was war denn Deine äussere Funktion?
> f'(x) = cos x * x^(sin x) * (ln (x) + 1)
>
> Statt dem Bruch [mm]\bruch{sin x}{x}[/mm] habe ich also 1
> herausbekommen. Was habe ich falsch gemacht?
Ich vermute, dass Deine äussere Funktion falsch ist. Aber schreib sie doch mal ausdrücklich hin.
Mein Vorgehen wäre hier folgendes:
[mm]\begin{array}{rcll}
\left(x^{\sin(x)}\right)' &=&\left(\mathrm{e}^{\ln(x)\cdot \sin(x)}\right)'\\
&=& \mathrm{e}^{\ln(x)\cdot \sin(x)}\cdot\left(\ln(x)\cdot\sin(x)\right)'&\text{ (Kettenregel)}\\
&=& x^{\sin(x)}\cdot \left(\tfrac{1}{x}\cdot\sin(x)+\ln(x)\cdot\cos(x)\right) &\text{ (Produktregel)}
\end{array}[/mm]
Letzteres ist, bis auf triviale Umformungen, das erwartete Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Di 25.12.2007 | | Autor: | mary7 |
Danke für die schnelle Antwort!
Meine äußere Funktion war [mm] x^x, [/mm] da es ja "x hoch irgendwas" sein musste, dann hab ich halt x hoch x genommen...
Danke nochmal für die Antwort und deine Hilfe.
Frohes Fest noch.
Marie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 25.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> Danke für die schnelle Antwort!
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> Meine äußere Funktion war [mm]x^x,[/mm] da es ja "x hoch irgendwas"
> sein musste, dann hab ich halt x hoch x genommen...
Dies hatte ich befürchtet. Aber diese äussere Funktion ist nicht brauchbar. Es war ja [mm] $x^{\sin(x)}$ [/mm] abzuleiten. Als innere Funktion hast Du [mm] $u(x):=\sin(x)$ [/mm] gewählt. Wenn Du nun in Deine "äussere" Funktion $v(x) := [mm] x^x$ [/mm] diese innere Funktion $u(x)$ einsetzt, dann erhältst Du [mm] $v(u(x))=\sin(x)^{\sin(x)}$, [/mm] was eben leider nicht das selbe ist wie [mm] $x^{\sin(x)}$.
[/mm]
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