Ableitung von ^x Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Do 08.11.2007 | | Autor: | baltazar |
| Aufgabe | Meine Aufgabe besteht darin, allgemein die Formel f(x)= [mm] c^{x} [/mm] zweimal abzuleiten.
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In meiner Formelsammlung (Duden/Paetec) steht eigendlich schon die Lösung.
f'(x) = [mm] a^{x} [/mm] ln a
f''(x) = [mm] a^{x} [/mm] (ln [mm] a)^2 [/mm]
Nur hilft mir dass herzlich wenig wenn ich nicht weiß wieso dem so ist.
Ich hoffe nun dass jemand sich erbarmt und mich über das mysteriöse " ln " aufklärt und mir Ansätze gibt wieso überhaupt so abgeleitet wird.
Vielen Dank
Gruß Benjamin
[Wie immer habe ich diese Frage nur hier gestellt]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Do 08.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Habt ihr schon [mm] f(x)=e^x [/mm] abgeleitet? Darauf kann man das nämlich aufbauen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Do 08.11.2007 | | Autor: | baltazar |
[mm] e^{x} [/mm] lässt sich nicht ableiten bzw. ist nach der Ableitung unverändert weil e die Eulersche Zahl ist. Aber ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wieso dass so ist .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Do 08.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Naja, der Beweis, den ich in der Schule erhalten haben, war auch etwas schwammig, aber ich versuche es dir mit einem Beweis (mit Hilfe von Wikipedia) klar zu machen:
[mm] m_s=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] m_s=\bruch{e^{x+h}-e^x}{h}
[/mm]
[mm] m_s=\bruch{e^{x}(e^h-1)}{h}
[/mm]
[mm] m_t=\limes_{h\rightarrow 0}e^{x}\bruch{(e^h-1)}{h}
[/mm]
Nun müsste man also rausfinden, wogegen [mm] \bruch{(e^h-1)}{h} [/mm] für h->0 konvergiert.
Dazu kann man sich folgendes überlegen:
Für große n ist [mm] e=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] (für [mm] n->\infty [/mm] geht dieser Term also gegen e)
Etwas umgestellt ergibt sich:
[mm] \bruch{e^{\bruch{1}{n}}-1}{\bruch{1}{n}}=1
[/mm]
(auch für sehr große n)
Also gilt:
(I) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{\bruch{1}{n}}-1}{\bruch{1}{n}}=1
[/mm]
Und nun kommt's: Den eben genannten Grenzwert kann man auch als
(II) [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{e^h-1}{h}=1 [/mm] schreiben!
I und II sind gleich, da für [mm] n->\infty \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 geht. Und für h->0 geht h offensichtlich auch gegen 0.
Damit wäre also [mm] m_t=\limes_{h\rightarrow 0}e^{x}\bruch{(e^h-1)}{h}=e^x*1=e^x.
[/mm]
Nun zum eigentlichen Problem:
[mm] f(x)=a^x=(e^{lna})^x=e^{lna*x}
[/mm]
Das kannst du mit der Kettenregel ableiten:
[mm] f'(x)=e^{lna*x}*lna=a^x*lna
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 08.11.2007 | | Autor: | baltazar |
$ [mm] e^{x} [/mm] $ lässt sich nicht ableiten bzw. ist nach der Ableitung unverändert weil e die Eulersche Zahl ist. Aber ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wieso dass so ist .
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Hallo baltazar!
> [mm]e^{x}[/mm] lässt sich nicht ableiten bzw. ist nach der Ableitung
> unverändert weil e die Eulersche Zahl ist. Aber ehrlich
> gesagt habe ich keine Ahnung wieso dass so ist .
Wenn du das so gelernt hast, ist es für deinen Beweis hier eigentlich egal, wieso das so ist.
Allgemein ist aber definiert: [mm] c^x:=e^{x\ln c}
[/mm]
Wenn du das jetzt mit der Kettenregel ableitest, solltest du das Gewünschte erhalten.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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