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| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die Ableitung von tan(x). |
Hallo,
die Aufgabe löst man doch mit der Form [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] oder täusche ich mich?
lim h -> 0
wird leider nicht angezeigt.
Dann setze ich ein und komme auf folgende Resultate:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{tan(x+h) - tan(x)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{\bruch{sin(x+h)}{cos(x+h)} - \bruch{sin(x)}{cos(x)}}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{sin(x+h)\cdot{}cos(x) - cos(x+h)\cdot{}sin(x)}{cos(x+h)\cdot{}cos(x)\cdot{}h}
[/mm]
Aber wie gehts jetzt weiter?
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?
Muss ich das sin(x+h) und cos(x+h) mit den Additionstheoremen weiter aufsplitten?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Berechnen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die
> Ableitung von tan(x).
> Hallo,
> die Aufgabe löst man doch mit der Form
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm] oder
> täusche ich mich?
Alles richtig.
> lim h -> 0
> wird leider nicht angezeigt.
Ich habe mal den Backslash vor der Null gelöscht. Dann wird sie auch richtig interpretiert.
> Dann setze ich ein und komme auf folgende Resultate:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{tan(x+h) - tan(x)}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{\bruch{sin(x+h)}{cos(x+h)} - \bruch{sin(x)}{cos(x)}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{sin(x+h)\cdot{}cos(x) - cos(x+h)\cdot{}sin(x)}{cos(x+h)\cdot{}cos(x)\cdot{}h}[/mm]
>
> Aber wie gehts jetzt weiter?
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?
> Muss ich das sin(x+h) und cos(x+h) mit den
> Additionstheoremen weiter aufsplitten?
Ja!
Alternativ könntest Du aber auch zur Arbeitsersparnis folgendes Additionstheorem benutzen:
[mm] \tan{(x+h)}=\bruch{\tan{x}+\tan{h}}{1-\tan{x}\tan{h}}
[/mm]
Das findest Du in Formelsammlungen, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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Ah danke stimmt, mit diesem Additionstheorem könnte ich das auch machen.
Jetzt hab ich aber mit dem anderen weitergerechnet.
Also ich habe die Additionstheoreme angewandt, ausmultipliziert und ausgerechnet, dann komm ich auf folgende Form:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{cos(x)^{2}\cdot{}sin(h) + sin(x)^{2}\cdot{}sin(h)}{cos(x)^{2}\cdot{}cos(h)\cdot{}h - sin(x)\cdot{}sin(h)\cdot{}cos(x)\cdot{}h}
[/mm]
Wie kann ich dass jetzt weiter vereinfachen?
Gibts da wieder ein Additionstheorem das ich nicht kenne?
Lg
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Hallo nochmal,
> Also ich habe die Additionstheoreme angewandt,
> ausmultipliziert und ausgerechnet, dann komm ich auf
> folgende Form:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{cos(x)^{2}\cdot{}sin(h) + sin(x)^{2}\cdot{}sin(h)}{cos(x)^{2}\cdot{}cos(h)\cdot{}h - sin(x)\cdot{}sin(h)\cdot{}cos(x)\cdot{}h}[/mm]
>
> Wie kann ich dass jetzt weiter vereinfachen?
> Gibts da wieder ein Additionstheorem das ich nicht kenne?
Nö. Ausklammern. Zähler: trigonometrischer Pythagoras. Nenner: schon angewandtes Additionstheorem mal rückwärts anwenden. Wenn ich nicht irre, dann noch de l'Hôpital (auch in anderer Namenszitation in Umlauf), fertig.
Hm. Werde wortkarg. Pardon.
reverend
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