Ableitung von f(x)=ehochx < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 16.11.2006 | | Autor: | Tiago |
| Aufgabe | Aufgabe: [mm] f(x)=e^{x}
[/mm]
Stellen Sie die Ableitungen der Funktion auf und erläutern Sie!
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Hallo zusammen,
Also soweit es von meinem Lehrer verstanden habe , bleibt [mm] e^{x} [/mm] immer gleich.
Also :
1. Ableitung: f´(x)= [mm] e^{x}
[/mm]
2. Ableitung: f´´(x)= [mm] e^{x}
[/mm]
3. Ableitung: f´´´(x)= [mm] e^{x} [/mm]
Soweit habe ich es akkustisch verstanden.
Nur wie kommt man auf diese Lösung? Und wie sieht der Lösungsweg dazu aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 16.11.2006 | | Autor: | SLe |
Vielleicht kannst du es dir anhand einer Graphik klar machen. Die Ableitung einer Funktion beschreibt ja immer deren Steigung. Wenn du jetzt die e-Funktion aufzeichnest, müßtest du zeigen können, daß die Steigung exponentiell zunimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 16.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Soweit ich weiss kann ich hier keine Graphik hier reinzeichnen.
Aber auf jeden Fall habe ich etwas skizziert, was so ähnlich wie eine 45° Grad Kurve aussieht und positiv zur y-Achse geht.
Schön und gut aber wie komme ich den rechnerisch auf den Weg?
Zeichnerisch habe ich es ja bereits im meinem Heft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Do 16.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
rechnerisch geht das über die Ableitung der Umkehrfunktion.
Mehr verrate ich dir erst einmal noch nicht, aber ich gebe dir noch die Definitionen:
Es ist die Ableitung der Umkehrfunktion definiert durch:
[mm] \left(f^{-1}(y)\right)'=\bruch{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}
[/mm]
und
[mm]y=f(x)=ln(x)[/mm]
Dann knobel mal ein wenig 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Kannst du mir nicht sagen wie?
Ich komme ehrlich nicht drauf :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Tiago,
heute komme ich nicht mehr dazu das aufzudröseln, aber morgen
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Di 21.11.2006 | | Autor: | Tiago |
PRIMA! *hookup*
Nun wurde alles geklärt. Danke.
Nun muss ich wissen was es mit der 1 auf sich hat.
Mein Lehrer meinte das wäre der kernpunkt der ganzen Aufgabe :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Und im übrigen:
Kann man das nicht mit dem Differenzenquotienten rausbekommen?
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Hallo,
ich gestehe, daß ich mir nicht den ganzen - etwas länglichen - Thread durchgelesen habe.
Also bitte ich um Erbarmen, falls es schon irgendwo steht:
> Und im übrigen:
> Kann man das nicht mit dem Differenzenquotienten
> rausbekommen?
Klar, das kann man machen.
Man benötigt dafür im Verlauf der Rechnung [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{e^h-1}{h}=1.
[/mm]
Um dieses zu beweisen, braucht man wiederum die Exponentialreihe und die Abschätzung ihres Restgliedes.
Ich bezweifle, daß das procedere schultauglich ist, aber man kann es in einschlägigen Analysisbüchern nachlesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 16.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Tiago,
naja, in der Aufgabe steht "erläutern sie". Ich denke nicht, dass ihr beweisen müsst, dass die Ableitung von [mm] e^x [/mm] wieder [mm] e^x [/mm] ist. Zumal ihr ein Grundkurs seid. Ich glaube der Lehrer wäre schon froh, wenn du mit eigenen Worten beschreibst, was du siehst.
So in der Art: Die Steigung von [mm] f(x)=e^x [/mm] (,d.h. die Steigung der Tangenten in einem Punkt ) ist immer gleich dem Funktionswert an diesem Punkt.
Ich weiss es natürlich nicht, aber von beweisen steht jedenfalls nichts in der Aufgabe.
Falls du etwas über die herleitung lesen möchtest, kuck mal ![[]](/images/popup.gif) hier
l G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 16.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Hallo Walde,
Wieso Grundkurs?
Oh man wahrscheinlich habe ich das Thema falsch eingetragen.
Also um klar zu stellen ich habe Mathe LK und mein Lehrer ist in solchen Sachen immer sehr korrekt´.
Aber Danke erstmal für die Seite.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Do 16.11.2006 | | Autor: | Walde |
Upps,sollte nicht abwertend klingen. Ich dachte halt, weil du in deinem Mathe-Background GK(=Grundkurs) angegeben hast, seid ihr ein solcher.
Lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 16.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Ach keine Ursache konntest du ja nicht wissen.
Also ich setzte mich heute erstmal nicht auseinander, da ich für heute noch nicht ausseinander. Melde mich aber deshalb morgen wieder.
LG Tiago
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Kann ich es vielleicht mit der Umkehrfunktion ausrechnen?
Also so:
[mm] e^x)' [/mm] =
= (Summe(k=0 bis [mm] unendlich)(x^k [/mm] / k!))'
= Summe(k=0 bis [mm] unendlich)((x^k [/mm] / k!)')
= Summe(k=1 bis unendlich)(x^(k-1) / (k-1)!)
= Summe(k=0 bis [mm] unendlich)(x^k [/mm] / k!)
= [mm] e^x
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Die Funktion [mm] e^x [/mm] ist diejenige Funktion, deren Steigung in JEDEM Punkt von ihr ihrem Funktionswert entspricht.
Müsste meiner Meinung richtig sein...
Achja über meinem Text hätte ich noch ne Frage.
Nicht das ihr das vergisst ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Tiago,
das ist nicht die Umkehrfunktion, sondern die Reihendarstellung von [mm] e^x. [/mm] Wenn ihr die schon hattet, kannste sie benutzen würd ich sagen. Anonsten müsstest du ja eigentlich erst noch zeigen, dass die Reihe überhaupt konvergiert und der Grenzwert auch die Exp.Fkt ist...
Wenn ihr aber die Ableitung des Logarithmus schon hattet, geht es allerdings wirklich ganz gut über die Ableitung der Umkehrfunktion.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Nunja nicht direkt - Ich habe eher geraten, da unter den Exponentialfunktionen die Logharithmusfunktionen stehen. :D
Mhmm könnt ich es ungefähr nach den Schmea beschreiben.
Hier >>> http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=910&ref=http%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FExponentialfunktion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Ich weiss natürlich nicht was euer Lehrer gern hören möchte. Aber zumindest hast du da eine anschauliche und einleuchtende Herleitung. Ich find's ok.
L g walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Sollte ich noch was finden melde ich mich natürlich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Ich werde es ihm also so erklären...
h:=x-x0 , d.h. x->x0 => h->0
WENN ich weiß, dass [mm] lim(h->0)((e^h [/mm] - 1)/h) = 1 ist,
das folgt aus lim(h->0)((1+h)^(1/h)) = e,
DANN kann ich schreiben:
[mm] (e^x)' [/mm] an der Stelle x=x0
= [mm] lim(x->x0)((e^x [/mm] - e^x0)/(x - x0))
= lim(x->x0)((e^x0)(e^(x-x0) - 1)/(x - x0))
= [mm] lim(h->0)((e^x0)(e^h [/mm] - 1)/h)
= [mm] (e^x0)*lim(h->0)((e^h [/mm] - 1)/h)
= (e^x0)*1
= e^x0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Tiago |
Ist der einfachste Weg nicht die funktion mit der inneren und äußeren Ableitung abzuleiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 21.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ist der einfachste Weg nicht die funktion mit der inneren
> und äußeren Ableitung abzuleiten?
nicht ganz, denn da setzt du voraus, dass [mm] (e^x)'=e^x [/mm] ist und das wolltest du doch zeigen, oder
lg
Herby
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