Ableitung von e-Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | Bestimme die Ableitung:
f(x)= [mm] \left( \bruch{e^{x} sin x}{cos x} \right) [/mm] |
mir ist die Lösung bekannt, aber ich weiß nicht wieso...
lösung : f´(x)= [mm] \left( \bruch{e^{x} (1+sin x cos x}{cos^{2} x} \right)
[/mm]
meine Idee: allgemein gilt ja sin/cos =tan und die Ableitung des tan x ist [mm] \left( \bruch{1}{cos^{2} x} \right)
[/mm]
aber wo kommt im zähler + sin x cos x her?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Studi_AC,
Du brauchst die Quotientenregel, die Kettenregel und die Produktregel.
> Bestimme die Ableitung:
> f(x)= [mm]\left( \bruch{e^{x} sin x}{cos x} \right)[/mm]
> mir ist
> die Lösung bekannt, aber ich weiß nicht wieso...
>
> lösung : f´(x)= [mm]\left( \bruch{e^{x} (1+sin x cos x}{cos^{2} x} \right)[/mm]
>
> meine Idee: allgemein gilt ja sin/cos =tan und die
> Ableitung des tan x ist [mm]\left( \bruch{1}{cos^{2} x} \right)[/mm]
Nein, das hilft hier nicht weiter.
> aber wo kommt im zähler + sin x cos x her?
Sei [mm] g(x)=e^x*\sin{x} [/mm] und [mm] h(x)=\cos{x}. [/mm] Dann ist Dein [mm] f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)}
[/mm]
Laut Quotientenregel ist dann [mm] f'(x)=\bruch{\cos{x}*g'(x)-g(x)*(-\sin{x}}{\cos^2{x}}
[/mm]
Jetzt bestimme mal $g'(x)$ und setze ein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | | Jetzt bestimme mal $ g'(x) $ und setze ein |
g´(x)= [mm] e^{x} [/mm] cos x ?,
dann erhalte ich insgesamt im zähler:
(cos x [mm] e^{x} [/mm] cos x) - [mm] (e^{x} [/mm] sin x (-sin x)), dann würde ich [mm] e^{x} [/mm] ausklammern und bin wieder ratlos ???
sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 21.01.2013 | | Autor: | CJcom |
Hallo Studi_AC,
schau dir nochmal g'(x) an. Du hast bei der Ableitung der Funktion neben der Quotientenregel, die du beachten musst, im Zähler noch zusätzlich die Produktregel, da bei der E-Funktion und beim Sinus die Varbiable x auftaucht. Die Produktregel hast du bisher übersehen. Danach die E-Funktion ausklammern und noch 1 = [mm] sin^{2}(x) [/mm] + [mm] cos^{2}(x) [/mm] anwenden.
Gruß
CJ
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Studi_AC |
"du hast im Zähler noch zusätzlich die Produktregel"
ja, danke! damit erhalte ich schonmal [mm] e^{x} [/mm] sin x cos x [mm] cos^{2}(x), [/mm]
aber im Subtrahenten aus der Quotientenregel steht [mm] e^{x} [/mm] sin x (-sin x)
wie komme ich da an ein [mm] sin^{2} [/mm] um anwenden zu können, dass sinquadrat + cosquadrat = 1 ist ??
Danke für die Hilfe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Studi!
Es gilt doch: [mm]\sin(x)*\left[-\sin(x)\right] \ = \ (-1)*\sin(x)*\sin(x) \ = \ (-1)*\left[\sin(x)\right]^2 \ = \ -\sin^2(x)[/mm] .
Anschließend nun [mm]e^x[/mm] im Zähler ausklammern, um [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = ß 1[/mm] anwenden zu können.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Studi_AC |
ja, ich hab es,
vielen lieben Dank für die Hilfe!!
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