Ableitung von arccos x < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 So 05.11.2006 | | Autor: | Trivial |
| Aufgabe | | Leite f(x)= arccos x ab! |
Hallo,
ich bin heute sehr aktiv hier^^. Ich wollte ganz gerne wissen, wie man von arccos x (abgeleitet) - [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} [/mm] kommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 05.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Azim,
das funktioniert über die Formel der Ableitung der Umkehrfunktion:
[mm] (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(x)}, [/mm] wobei y=f(x)
Vereinfacht dargestellt (ich kümmere mich jetzt mal nicht um Definitionsbereiche und [mm] f'(x)\not=0 [/mm] und so). Wir haben:
[mm] y=f(x)=\arccos(x) [/mm] gesucht ist [mm] f'(x)=\bruch{df(x)}{dx}=\bruch{dy}{dx}.
[/mm]
Ausserdem gilt:
[mm] \cos(y)=\cos(\arccos(x))=x, [/mm] d.h. (Ableitung von [mm] \cos(y) [/mm] nach y) [mm] \bruch{dx}{dy}=\cos'(y)=-\sin(y)
[/mm]
und du kennst vielleicht den Zusammenhang [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)=1
[/mm]
Wir haben also:
[mm] f'(x)=\bruch{df(x)}{dx}=\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{\bruch{dx}{dy}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{\sin(y)}=-\bruch{1}{\wurzel{\sin^2(y)}}=-\bruch{1}{\wurzel{1-\cos^2(y)}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Ich hoffe, du bist mit den Schreibweisen vertraut.Falls nicht, hilft dir vielleicht der Wikipedia Artikel über die ![[]](/images/popup.gif) Ableitung. In der Praxis kuckt man übrigens die Ableitung solcher (komplizierten) Funktionen in einer Tabelle nach (oder weiss sie auswendig).
L G walde
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