Ableitung von R^3-->R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | F: [mm] \IR^3 [/mm] --> [mm] \IR^2 [/mm] mit
F(x,y,z) := [mm] (x^2*sin(y), z^2-x^2)
[/mm]
(a) Ableitung und Rang berechnen
(b) In welchen Punkten des [mm] \IR^3 [/mm] ist der Satz über implizite Funktionen anwendbar?
(c) Geben Sie in einer Umgebung des Punktes (1,0,1) explizit eine Paramtrisierung von [mm] F^{-1}(0,0) [/mm] an |
(a)
f(x,y,z) = [mm] \pmat{ 2x sin(y) & x^2 cos(y) & 0 \\ -2x & 0 & 2z }, [/mm] damit ist rang f=2
(b)
für [mm] x\not=z [/mm] bleibt der Rang der Matrix bei 2 und man kann somit den Satz für implizite Funktionen anwenden, richtig?
(c)
leider weiß ich nicht, was ich da tun soll, kann mir jemand auf die sprünge helfen?
gruß leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> F: [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR^2[/mm] mit
>
> F(x,y,z) := [mm](x^2*sin(y), z^2-x^2)[/mm]
>
> (a) Ableitung und Rang berechnen
> (b) In welchen Punkten des [mm]\IR^3[/mm] ist der Satz über
> implizite Funktionen anwendbar?
> (c) Geben Sie in einer Umgebung des Punktes (1,0,1)
> explizit eine Paramtrisierung von [mm]F^{-1}(0,0)[/mm] an
>
> (a)
>
> f(x,y,z) = [mm]\pmat{ 2x sin(y) & x^2 cos(y) & 0 \\ -2x & 0 & 2z },[/mm]
> damit ist rang f=2
Na, na, na. Schau Dir mal den Fall x= 0 an ! Und dann x=z=0.
>
> (b)
>
> für [mm]x\not=z[/mm] bleibt der Rang der Matrix bei 2 und man kann
> somit den Satz für implizite Funktionen anwenden,
> richtig?
Nein. Nimm mal x=0 und z=1
>
> (c)
>
> leider weiß ich nicht, was ich da tun soll, kann mir
> jemand auf die sprünge helfen?
Mit $ [mm] F^{-1}(0,0) [/mm] $ ist folgendes gemeint:
$ [mm] F^{-1}(0,0) [/mm] = [mm] \{(x,y,z) \in \IR^3: F(x,y,z)= (0,0)\}$
[/mm]
FREd
>
> gruß leipziger
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Ja, stimmt Fallunterscheidung wäre noch wichtig.
(a)
[mm] x\not=0, x\not=z [/mm] :
[mm] f(x,y,z)=\pmat{ 2x sin(y) & x^2 cos(y) & 0 \\ -2x & 0 & 2z } [/mm] ==> rang f = 2
x=0:
[mm] f(0,y,z)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2z } [/mm] ==> rang f = 1 (für [mm] x=z\not=0 [/mm] gilt das gleiche)
x=z=0:
[mm] f(0,y,0)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ==> rang f = 0
(b) somit muss [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] x\not=z [/mm] sein, dann ist der Satz über implizite Funktionen anwendbar.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 14.10.2010 | | Autor: | Leipziger |
Ist meine Lösung für (a) und (b) richtig?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Fr 15.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Leipziger,
> Ja, stimmt Fallunterscheidung wäre noch wichtig.
>
> (a)
> [mm]x\not=0, x\not=z[/mm] :
> [mm]f(x,y,z)=\pmat{ 2x sin(y) & x^2 cos(y) & 0 \\ -2x & 0 & 2z }[/mm]
> ==> rang f = 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> x=0:
> [mm]f(0,y,z)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2z }[/mm] ==> rang f = 1
> (für [mm]x=z\not=0[/mm] gilt das gleiche)
>
> x=z=0:
> [mm]f(0,y,0)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] ==> rang f = 0
Welcher Rang für [mm]x=z\not=0[/mm] gilt, ([mm]f(x,y,x)=\pmat{ 2x sin(y) & x^2 cos(y) & 0 \\ -2x & 0 & 2x }[/mm]), sehe ich hier noch nicht.
>
> (b) somit muss [mm]x\not=0[/mm] und [mm]x\not=z[/mm] sein, dann ist der Satz
> über implizite Funktionen anwendbar.
>
> Gruß
Gruß meili
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