Ableitung von Quotienten II < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 07.09.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] \bruch{4x}{x^2-4}
[/mm]
a.) Zeigen Sie, dass der Punkt W (0|0) Wendepunkt des Graphen von f ist. Geben Sie die Gleichung der dazugehörigen Wendetangente an.
b.) Die Parallelen zur Wendetangente berühren den Graphen in [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] . Berechnen Sie die Koordinaten von [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] ; geben Sie die Gleichungen der Tangente in [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] an. |
Hallo,
Nun zu Part II meiner Hausaufgaben.
Hier komme ich nicht wirklich klar.
Erstmal zu a.)
Habe die Funktion mithilfe der Quotientenregel abgeleitet.
Da kommt raus :
f'(x) = [mm] \bruch{-4x^2-4}{(-x^2-4)^2}
[/mm]
Nun weiß ich aber nicht wie ich herausfinden soll ob es im Punkt 0|0 einen Wendepunkt gibt. Und die Tangente...?
Muss ich da jetzt die hinreichende sowie notwendige Bedingung für Wendepunkte erfüllen?
Also die Ableitung mit der Quotientenregel nochmal ableiten?
Und wie bekomme ich das mit der Tangentengleichung hin? Habe da gar keine Ahnung...:(
Zu b.)
Hier weiß ich gar nicht was ich machen soll. Vielleicht kann es mir jemand anhand eines Beispiels erklären. Wäre sehr nett ;)
Bedanke mich schonmal jetzt,
MfG
Kristof
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Hallo Kristof,
fangen wir erstmal bei a.) an:
ich muss dich leider enttäuschen, deine Ableitung ist fehlerhaft. Die Quotientenregel lautet für einen Bruch [mm] f(x) = \bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] wie folgt:
[mm] f'(x) = \bruch{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2} [/mm]
Wenden wir das auf unser Beispiel an, erhalten wir
[mm] f'(x) = \bruch{4(x^2-4)-4x*2x}{(x^2-4)^2} = \bruch{4x^2-16-8x^2}{(x^2-4)^2} = \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2} [/mm]
Der Wendepunkt einer Funktion liegt vor, wenn die 2. Ableitung Null wird, deswegen müssen wir diese zunächst bilden und dann Null setzen:
[mm] f''(x) = \bruch{-8x*(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4} = \bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3} [/mm]
Nun setzen wir diesen Bruch, der Einfachheit halber den Zähler, Null:
[mm] 8x^3+96x=0[/mm]
[mm]8x^3=-96x[/mm]
[mm]8x^2=-96[/mm]
[mm]x^2=-12 [/mm]
Diese Umformung ergibt keine Lösung, da wir aber auf dem Weg durch Null dividiert haben, ist x = 0 die einzige mögliche Lösung. Bei Einsetzen in die zweite Ableitung erkennen wir auch, dass tatsächlich der Wendepunkt bei x = 0 liegen muss. Setzen wir nun x = 0 in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir y = 0 und deshalb liegt der Wendepunkt im Punkt (0|0).
Nun geht es an die Berechnung der Wendetangenten. Das sind diejenigen Geraden, die den Funktionsgraph im Wendepunkt berühren. Bezeichnen wir die Tangente mit [mm] y = mx + n [/mm], so wissen wir, dass n null sein muss, damit die Tangente den Wendepunkt (0|0) beinhaltet. Den Anstieg erhalten wir über die 1. Ableitung, das heißt, wir setzen x = 0 in die 1. Ableitung ein und erhalten damit den Anstieg der Tangente:
[mm] m = f'(0) = \bruch{-4 * 0^2 -16}{(0^2-4)^2} = \bruch{-16}{(-4)^2} = -1 [/mm]
Also lautet die Wendetangente y = -x.
Nun zu Teil b.)
In der Aufgabe steht, dass die gesuchten, parallelen Geraden den Graph in [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] berühren sollen, deshalb müssen es Tangenten in diesen Punkten sein. Wenn sie parallel zur Wendetangenten verlaufen sollen, müssen sie den gleichen Anstieg haben. Und bei der Tangente ist das Besondere, dass sie den gleichen Anstieg wie der Funktionsgraph (im entsprechenden Punkt) hat. Deswegen muss der Funktionsgraph in den Punkten [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] den Anstieg, also die 1. Ableitung, -1 haben.
Setzen wir also die erste Ableitung gleich -1:
[mm] \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2} = -1 [/mm]
[mm] -4x^2-16=-(x^2-4)^2 [/mm]
[mm] -4x^2-16=-(x^4-8x^2+16) [/mm]
[mm] -4x^2-16=-x^4+8x^2-16 [/mm]
[mm] -12x^2=-x^4 [/mm]
[mm] x^2 = 12 [/mm]
Also erhalten wir zwei Lösungen [mm] x_1 = \wurzel{12}, x_2 = -\wurzel{12} [/mm]. Setzen wir diese beiden Werte in die Funktionsgleichung ein, erhalten wir für [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] folgende Koordinaten:
[mm] B_1 (\wurzel{12}|\bruch{1}{2}\wurzel{12}), B_2(-\wurzel{12}|-\bruch{1}{2}\wurzel{12}) [/mm]
Nun müssen wir nur noch die Tangentengleichungen in beiden Punkten berechnen. Der Anstieg ist bei beiden -1 (das haben wir ja schon), also brauchen wir nur noch das n in der Gleichung y = mx + n. Dies können wir einfach über die Punktkoordinaten von [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] berechnen:
Zunächst die Tangente an [mm] B_1 [/mm]:
[mm] y = -x +n [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{12} = -\wurzel{12} +n [/mm]
[mm] \bruch{3}{2}\wurzel{12} = n [/mm]
Nun die Tangente an [mm] B_2 [/mm]:
[mm] y =-x+n [/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}\wurzel{12} = \wurzel{12}+n [/mm]
[mm] -\bruch{3}{2}\wurzel{12} = n[/mm]
Nun haben wir also die beiden Tangentengleichungen:
[mm] y = -x + \bruch{3}{2}\wurzel{12} [/mm] und
[mm] y = -x - \bruch{3}{2}\wurzel{12} [/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir beim Verständnis und beim Lösungsweg ein wenig weiterhelfen.
Mit freundlichen Grüßen
Manuela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
>
> fangen wir erstmal bei a.) an:
>
> ich muss dich leider enttäuschen, deine Ableitung ist
> fehlerhaft. Die Quotientenregel lautet für einen Bruch [mm]f(x) = \bruch{u(x)}{v(x)}[/mm]
> wie folgt:
>
> [mm]f'(x) = \bruch{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2}[/mm]
>
> Wenden wir das auf unser Beispiel an, erhalten wir
>
> [mm]f'(x) = \bruch{4(x^2-4)-4x*2x}{(x^2-4)^2} = \bruch{4x^2-16-8x^2}{(x^2-4)^2} = \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2}[/mm]
Danke,
War in der anderen HA genauso. Hab immer Vorzeichenfehler gemacht. Hab das nun verbessert, und komme genau auf die Ableitung wie du ;)
Danke
> Der Wendepunkt einer Funktion liegt vor, wenn die 2.
> Ableitung Null wird, deswegen müssen wir diese zunächst
> bilden und dann Null setzen:
>
> [mm]f''(x) = \bruch{-8x*(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4} = \bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
Ich verstehe einfach nicht wie du davon die 2. Ableitung gebildet hast. Habe bestimmt 2 Stunden davor gesessen am Wochenende und kam zu keinem Ergebnis wie du es hast. Habe dann einfach die Ableitung so übernommen, aber falls ich's erklären muss und auch für mich, fände ich es lieb wenn du oder jemand anders mir die Ableitung Schritt für Schritt erklären könnte.
Sonst hab ich auch alles genau wie du.
Danke nochmal,
MfG
Kristof
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Hallo,
$ f'(x) = [mm] \bruch{4(x^2-4)-4x\cdot{}2x}{(x^2-4)^2} [/mm] = [mm] \bruch{4x^2-16-8x^2}{(x^2-4)^2} [/mm] = [mm] \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2} [/mm] $
Da du ja hier noch einmal die Quotientenregel anwenden musst, musst du dir erst einmal klarmachen, was hier welche Funktion ist.
[mm] $u=-4x^2-16 \Rightarrow [/mm] u'=-8x$
Die entscheidene Sache ist wahrscheinlich die Ableitung von v, da du hier der Einfachheit halber die Kettenregel anwenden könntest. Falls du aber von einer Kettenregel noch nie was gehört hast, kannst du es auch auf dem traditionellen Wege durchführen (ausmultiplizieren, Potenz-/Faktorregel anwenden).
[mm] $v=(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16 \Rightarrow v'=4x^3-16x=2(x^2-4)2x$
[/mm]
Die Quotientenregel lautet ja:
$ f'(x) = [mm] \bruch{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2} [/mm] $
Jetzt setzt du alles ein (Klammern nicht vergessen, auch beim Ausmultiplizieren!).
[mm] $f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
[mm] =\bruch{-8x*(x^4-8x^2+16)-(-4x^2-16)(2x^2-8)2x}{(x^2-4)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-16x^5-64x^3+64x^3+256x)}{(x^2-4)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{-8x^5+64x^3-128+16x^5+64x^3-64x^3-256x}{(x^2-4)^2*(x^2-4)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{(x^4-8x^2+16)(x^4-8x^2+16)}
[/mm]
[mm] =\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-8x^6+16x^4-8x^6+64x^4-128x^2+16x^4-128x^2+128}
[/mm]
[mm] =\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-16x^6+96x^4-256x^2+128}
[/mm]
Aber frag mich getz nich', wie man vom drittletzten zum vorletzten Schritt kommt. :)
[mm] =\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}
[/mm]
Was auch noch möglich wäre, ist,
[mm] $(x^2-4)$
[/mm]
auszuklammern. Dann kommt man zu:
[mm] $f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-8x^2-32)(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-16x^3-64x)(x^2-4)}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{(x^2-4)*(-8x*(x^2-4)-(-16x^3-64x)}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{[-8x(x^2-4)-(-16x^3-64x)]}{(x^2-4)^3}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}$
[/mm]
Die ist alles, was in meiner Macht lag, möge die Macht mit dir sein. :)
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 14.09.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo,
>
> [mm]f'(x) = \bruch{4(x^2-4)-4x\cdot{}2x}{(x^2-4)^2} = \bruch{4x^2-16-8x^2}{(x^2-4)^2} = \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2}[/mm]
>
> Da du ja hier noch einmal die Quotientenregel anwenden
> musst, musst du dir erst einmal klarmachen, was hier welche
> Funktion ist.
>
> [mm]u=-4x^2-16 \Rightarrow u'=-8x[/mm]
>
> Die entscheidene Sache ist wahrscheinlich die Ableitung von
> v, da du hier der Einfachheit halber die Kettenregel
> anwenden könntest. Falls du aber von einer Kettenregel noch
> nie was gehört hast, kannst du es auch auf dem
> traditionellen Wege durchführen (ausmultiplizieren,
> Potenz-/Faktorregel anwenden).
>
> [mm]v=(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16 \Rightarrow v'=4x^3-16x=2(x^2-4)2x[/mm]
>
> Die Quotientenregel lautet ja:
>
> [mm]f'(x) = \bruch{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2}[/mm]
>
> Jetzt setzt du alles ein (Klammern nicht vergessen, auch
> beim Ausmultiplizieren!).
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-8x*(x^4-8x^2+16)-(-4x^2-16)(2x^2-8)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-16x^5-64x^3+64x^3+256x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128+16x^5+64x^3-64x^3-256x}{(x^2-4)^2*(x^2-4)^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{(x^4-8x^2+16)(x^4-8x^2+16)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-8x^6+16x^4-8x^6+64x^4-128x^2+16x^4-128x^2+128}[/mm]
>
Muss das am Ende nicht 256 sein?
Weil 16 * 16 sind doch 256 oder bin ich irgendwie blöd?
Wieso sind das denn nur 128?
[mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-16x^6+96x^4-256x^2+128}[/mm]
>
> Aber frag mich getz nich', wie man vom drittletzten zum
> vorletzten Schritt kommt. :)
So leid es mir tut,
ich weiß es nicht *schäm* ...
Mist, das regt mich irgendwie auf. Ist sicherlich ganz easy und ich komme nicht drauf gelle?
> [mm]=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> Was auch noch möglich wäre, ist,
>
> [mm](x^2-4)[/mm]
>
> auszuklammern. Dann kommt man zu:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-8x^2-32)(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-16x^3-64x)(x^2-4)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{(x^2-4)*(-8x*(x^2-4)-(-16x^3-64x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{[-8x(x^2-4)-(-16x^3-64x)]}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> Die ist alles, was in meiner Macht lag, möge die Macht mit
> dir sein. :)
>
> Grüße,
>
> Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kristof,
> >
> > [mm]f'(x) = \bruch{4(x^2-4)-4x\cdot{}2x}{(x^2-4)^2} = \bruch{4x^2-16-8x^2}{(x^2-4)^2} = \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2}[/mm]
>
> >
> > Da du ja hier noch einmal die Quotientenregel anwenden
> > musst, musst du dir erst einmal klarmachen, was hier welche
> > Funktion ist.
> >
> > [mm]u=-4x^2-16 \Rightarrow u'=-8x[/mm]
> >
> > Die entscheidene Sache ist wahrscheinlich die Ableitung von
> > v, da du hier der Einfachheit halber die Kettenregel
> > anwenden könntest. Falls du aber von einer Kettenregel noch
> > nie was gehört hast, kannst du es auch auf dem
> > traditionellen Wege durchführen (ausmultiplizieren,
> > Potenz-/Faktorregel anwenden).
> >
> > [mm]v=(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16 \Rightarrow v'=4x^3-16x=2(x^2-4)2x[/mm]
>
> >
> > Die Quotientenregel lautet ja:
> >
> > [mm]f'(x) = \bruch{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2}[/mm]
> >
> > Jetzt setzt du alles ein (Klammern nicht vergessen, auch
> > beim Ausmultiplizieren!).
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{-8x*(x^4-8x^2+16)-(-4x^2-16)(2x^2-8)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
Hier ist euch ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen:
> >
> [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128-(-16x^5-64x^3+64x^3+256x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{-8x^5+64x^3-128+16x^5+64x^3-64x^3-256x}{(x^2-4)^2*(x^2-4)^2}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{(x^4-8x^2+16)(x^4-8x^2+16)}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-8x^6+16x^4-8x^6+64x^4-128x^2+16x^4-128x^2+128}[/mm]
> >
> Muss das am Ende nicht 256 sein?
> Weil 16 * 16 sind doch 256 oder bin ich irgendwie blöd?
> Wieso sind das denn nur 128?
Du hast recht der letzte Summand im Nenner muss 256 heißen.
Allerdings solltest du nie ausmultiplizieren, bevor du nicht gekürzt hast. Denn jetzt müsstest du, um die Nullstellen zu finden, Polynomdivisionen durchführen. Deshalb geh immer den Weg, den Manuela dir gegeben hat. Stefan hat ihn in seiner 2. Rechnung ja auch durchgeführt.
Kannst du die Rechnung nachvollziehen?
> [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-16x^6+96x^4-256x^2+128}[/mm]
> >
> > Aber frag mich getz nich', wie man vom drittletzten zum
> > vorletzten Schritt kommt. :)
>
> So leid es mir tut,
> ich weiß es nicht *schäm* ...
> Mist, das regt mich irgendwie auf. Ist sicherlich ganz
> easy und ich komme nicht drauf gelle?
>
> > [mm]=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> >
> > Was auch noch möglich wäre, ist,
> >
> > [mm](x^2-4)[/mm]
> >
> > auszuklammern. Dann kommt man zu:
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-8x^2-32)(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{-8x\cdot{}(x^2-4)^2-(-16x^3-64x)(x^2-4)}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{(x^2-4)*(-8x*(x^2-4)-(-16x^3-64x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
> >
> > [mm]f''(x)=\bruch{[-8x(x^2-4)-(-16x^3-64x)]}{(x^2-4)^3}[/mm]
> >
> > [mm]f''(x)=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> >
> > [mm]f''(x)=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> >
> > Die ist alles, was in meiner Macht lag, möge die Macht mit
> > dir sein. :)
> >
> > Grüße,
> >
> > Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Kristof |
>
> Du hast recht der letzte Summand im Nenner muss 256
> heißen.
>
> Allerdings solltest du nie ausmultiplizieren, bevor du
> nicht gekürzt hast. Denn jetzt müsstest du, um die
> Nullstellen zu finden, Polynomdivisionen durchführen.
> Deshalb geh immer den Weg, den Manuela dir gegeben hat.
> Stefan hat ihn in seiner 2. Rechnung ja auch durchgeführt.
> Kannst du die Rechnung nachvollziehen?
>
>
> > [mm]=\bruch{8x^5+64x^3-256x-128}{x^8-16x^6+96x^4-256x^2+128}[/mm]
> > >
> > > Aber frag mich getz nich', wie man vom drittletzten zum
> > > vorletzten Schritt kommt. :)
> >
> >
> > > [mm]=\bruch{-8x^3+32x+16x^3+64x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\bruch{8x^3+96x}{(x^2-4)^3}[/mm]
> > >
Nein, ich kann es leider nicht nachvollziehen :(
Verstehe nicht, wie man vom drittletzten zum zweitletzten Schritt kommen soll?
Das bräuchte ich nochmal erklärt.
Dankeschön
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Hi noch einmal,
Er ist auch nicht nachzuvollziehen, da er rechnerisch unmöglich ist.
Wenn du diesen Weg einschlägst, musst du, in der Tat, erst eine Nullstelle raten und dann mit Polynomdivision fortfahren.
Grüße,
Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 17.09.2006 | | Autor: | Kristof |
Hi,
Nochmal Danke für deine Bemühungen.
Also f'(x) Abzuleiten habe ich jetzt geschafft. Mit der Methode indem ich [mm] (x^2-4) [/mm] ausklammer.
Aber das andere bereitet mir irgendwie Kopfzerbrechen.
Mit der Polynomdivision habe ich das jetzt auch kapiert, aber ich komme auf ganz andere Werte. Kann mir vielleicht mal jemand meinen Fehler zeigen?
f''(x) = [mm] \bruch{-8x(x^2-4)^2-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{-8x^5+64x^3-128x + 16x^5-64x^3-256x}{(x^2-4)^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{8x^5+64x^3-384x}{(x^2-4)^4}
[/mm]
Hier ist ja schon alles komplett anders.
Irgendwas mache ich da falsch. Stehe total auf dem Schlauch :(
Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.
MfG
Kristof
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Hallo Kristof,
> Hi,
> Nochmal Danke für deine Bemühungen.
> Also f'(x) Abzuleiten habe ich jetzt geschafft. Mit der
> Methode indem ich [mm](x^2-4)[/mm] ausklammer.
$ f'(x) = [mm] \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2} [/mm] $
>
> Aber das andere bereitet mir irgendwie Kopfzerbrechen.
> Mit der Polynomdivision habe ich das jetzt auch kapiert,
> aber ich komme auf ganz andere Werte. Kann mir vielleicht
> mal jemand meinen Fehler zeigen?
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-8x(x^2-4)^2-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
Du hast uns noch nicht verraten, ob du die  Kettenregel kennst?
$v(x) = [mm] (x^2-4)^2$ [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $v'(x) = [mm] \underbrace{2x}_{\text{innere Ableitung}} [/mm] * [mm] \underbrace{2(x^2-4)}_{\text{äußere Ableitung}}$
[/mm]
angewandt:
$f''(x) = [mm] \bruch{-8x(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2x * 2(x^2-4)}{(x^2-4)^4}$
[/mm]
jetzt kannst du [mm] $(x^2-4)$ [/mm] stets im Zähler ausklammern und den Bruch dadurch kürzen:
$f''(x) = [mm] \bruch{-8x(x^2-4)-(-4x^2-16)2x * 2}{(x^2-4)^3}$
[/mm]
und das geht wegen der Kettenregel stets bei gebrochenrationalen Funktionen...
Bloß nicht ausmultiplizieren! Wie Sigrid schon gewarnt hat! Das macht alles nur fehlerträchtiger...
Zusammenfassen im Zähler wirst du nun schaffen, auch die Wendestellen an den Stellen zu finden, an denen der Zähler =0 wird, oder?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 17.09.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
> > Hi,
> > Nochmal Danke für deine Bemühungen.
> > Also f'(x) Abzuleiten habe ich jetzt geschafft. Mit der
> > Methode indem ich [mm](x^2-4)[/mm] ausklammer.
> [mm]f'(x) = \bruch{-4x^2-16}{(x^2-4)^2}[/mm]
> >
> > Aber das andere bereitet mir irgendwie Kopfzerbrechen.
> > Mit der Polynomdivision habe ich das jetzt auch kapiert,
> > aber ich komme auf ganz andere Werte. Kann mir vielleicht
> > mal jemand meinen Fehler zeigen?
> >
> > f''(x) =
> [mm]\bruch{-8x(x^2-4)^2-(-4x^2-16)(4x^3-16x)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> Du hast uns noch nicht verraten, ob du die
> Kettenregel kennst?
> [mm]v(x) = (x^2-4)^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v'(x) = \underbrace{2x}_{\text{innere Ableitung}} * \underbrace{2(x^2-4)}_{\text{äußere Ableitung}}[/mm]
Nein die haben wir noch nicht,
unsere Lehrerin hat auch irgendwas davon gesagt, sie wollte es irgendwie später mit uns machen. Die Aufgaben sollte man auch alle ohne Kettenregel lösen können meinte Sie.
> angewandt:
> [mm]f''(x) = \bruch{-8x(x^2-4)^2-(-4x^2-16)2x * 2(x^2-4)}{(x^2-4)^4}[/mm]
>
> jetzt kannst du [mm](x^2-4)[/mm] stets im Zähler ausklammern und den
> Bruch dadurch kürzen:
> [mm]f''(x) = \bruch{-8x(x^2-4)-(-4x^2-16)2x * 2}{(x^2-4)^3}[/mm]
>
> und das geht wegen der Kettenregel stets bei
> gebrochenrationalen Funktionen...
>
> Bloß nicht ausmultiplizieren! Wie Sigrid schon gewarnt hat!
> Das macht alles nur fehlerträchtiger...
>
> Zusammenfassen im Zähler wirst du nun schaffen, auch die
> Wendestellen an den Stellen zu finden, an denen der Zähler
> =0 wird, oder?
>
> Gruß informix
Habe die 2. Ableitung hinbekommen, indem ich (x²-4) ausgeklammert habe. Ist das die Kettenregel? Das erschien mir am einfachsten.
Ich wollte ja wissen, wie es mit ausmultiplizieren geht. ;)
Vielleicht kann mir da ja nochmal jemand helfen.
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