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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Ein zur y-Achse symmetrisches Dreieck hat den Ursprung 0 als eine Ecke. Die beiden weiteren Ecken P1 und P2 liegen auf dem Graphen von f mit f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] .
Für welche Lage von P1 ist der Flächeninhalt des Dreiecks extremal?
Um welche Art Extremum handelt es sich dabei? |
Hallo,
Irgendwie verstehe ich das nicht.
Woher soll ich denn mit den paar Informationen wissen, wo ein Extremum vorliegt?
Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Nicht rechnen, nur erleutern.
Wäre sehr lieb.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, die Sache verhält sich wie folgt...
Da das Dreieck die Spitze im Ursprung hat und symmetrisch zur y-Achse ist, gelten folgende Dinge:
Die Grundseite G des Dreiecks ist G(x)=2*x.
Die Höhe h des Dreiecks ist gerade h(x)=f(x).
(Diese Dinge solltest du dir evtl. an einer Zeichung klar machen in dem du den Graphen von f(x) zeichnest und dann verschiedene Dreiecke reinkonstruierst!)
Also folgt für den Flächeninhalt A(x)
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}*G(x)*h(x)=\bruch{x}{1+x^{2}}
[/mm]
Und das ist deine Zielfunktion, von der du jetzt den Hochpunkt berchnen kannst!
Zur Kontrolle: Bei x=1 und x=-1 sollten die beiden Ecken liegen, dann ist der Flächeninhalt maximal!!
Ich hoffe ich konnte helfen!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo du!
>
> Also, die Sache verhält sich wie folgt...
>
> Da das Dreieck die Spitze im Ursprung hat und symmetrisch
> zur y-Achse ist, gelten folgende Dinge:
>
> Die Grundseite G des Dreiecks ist G(x)=2*x.
Wieso ist das so? Weil es die Grundseite zweimal gibt? Also wegen der Symmetrie?
> Die Höhe h des Dreiecks ist gerade h(x)=f(x).
Also meinst du h (x) ist das gleiche wie [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] oder wie? Woher weiß ich denn das h (x) = f (x) ist?
> (Diese Dinge solltest du dir evtl. an einer Zeichung klar
> machen in dem du den Graphen von f(x) zeichnest und dann
> verschiedene Dreiecke reinkonstruierst!)
>
> Also folgt für den Flächeninhalt A(x)
>
> [mm]A(x)=\bruch{1}{2}*G(x)*h(x)=\bruch{x}{1+x^{2}}[/mm]
Wäre das dann so?
A(x) = [mm] \bruch{1}{2}*2x*\bruch{1}{1+x^2} [/mm]
A (x) = [mm] \bruch{x}{1+x^2} [/mm] ?
Das 2. wäre dann also die eigenltiche Zielfunktion oder?
> Und das ist deine Zielfunktion, von der du jetzt den
> Hochpunkt berchnen kannst!
Also muss ich bei der ersten Ableitung die Nullstellen rausfinden, damit ich Hoch bzw. Tiefpunkt finde nicht wahr?
>
> Zur Kontrolle: Bei x=1 und x=-1 sollten die beiden Ecken
> liegen, dann ist der Flächeninhalt maximal!!
>
> Ich hoffe ich konnte helfen!
>
> Lg, Kübi
>
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Hallo Kristof,
vielleicht hilft dir diese Zeichnung mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 19.09.2006 | | Autor: | Kristof |
Okay,
Habe die Aufgabe mal berechnet.
A (x) = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] g(x) * h(x)
A (x) = [mm] \bruch{x}{1+x^2}
[/mm]
Ein Maximum liegt vor, wo die erste Ableitung = 0 ist und die 2. Ableitung ungleich 0 ist.
A'(x) = [mm] \bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
A' (x) = 0
x1 = 1 ; x2 = -1
Also ist der Flächeninhalt an den Stellen 1 und -1 Extremal.
Die Art des Extremas erkennt man am Voreichen des Ergebnis der 2. Ableitung.
Für A'' (x) < 0 gilt maximum
Für A'' (x) > 0 gilt minimum
A''(x) = [mm] \bruch{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}
[/mm]
A(1) = 0,5 ; Bei der Stelle x = 1 liegt ein maximum vor.
A (-1) = -0,5 ; Bei der Stelle x = -1 liegt ein minimum vor.
Wäre das so richtig?
Fehlt irgendwas?
Danke nochmal.
MfG
Kristof
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof,
> > Okay,
> > Habe die Aufgabe mal berechnet.
> >
> > A (x) = [mm]\bruch{1}{2}*[/mm] g(x) * h(x)
> Wie kommst du denn auf diese erste Gleichung? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Was ist denn g(x) und h(x)?
Also,
Das habe ich aus dem Post von Kuebi erfahren.
Nach deiner Zeichnung habe ich G aber auch selber erkennen können.
G ist die Grundfläche des Dreieck's.
Aber gut das du nochmal nachfragst, wieso eigentlich
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] g(x)?
Ich weiß das g (x) = x ist. Würde es da nicht auch einfach reichen A(x) = g(x) * h(x) ?
Da muss ich auch nochmal nachfragen. Wieso ist h (x) eigentlich das gleiche wie die Funktionsvorschrift? Also das würde ja bedeuten die Höhe h des Dreiecks wäre die Funktionsvorschrift.
Das kann ich aber dann doch nicht so recht nachvollziehen...?
> > A (x) = [mm]\bruch{1}{2}*2x*\bruch{1}{1+x^2}= \bruch{x}{1+x^2}[/mm]
>
> >
> > Ein Maximum liegt vor, wo die erste Ableitung = 0 ist und
> > die 2. Ableitung ungleich 0 ist.
> >
> > A'(x) = [mm]\bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> > A' (x) = 0
> >
> > x1 = 1 ; x2 = -1
> Sinnvoll ist nur x=1, für x=-1 würdest du ja eine negative
> Fläche berechnen.
Okay, also [mm] x_2 [/mm] = -1 gar nicht aufnehmen oder?
Könnte ja gegebenenfalls hinzufügen, das es bei -1 einen negativen Flächeninhalt geben würde ;)
> > Also ist der Flächeninhalt an den Stellen 1 und -1
> > Extremal.
> >
> > Die Art des Extremas erkennt man am Voreichen des Ergebnis
> > der 2. Ableitung.
> > Für A'' (x) < 0 gilt maximum
> > Für A'' (x) > 0 gilt minimum
> >
> > A''(x) = [mm]\bruch{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}[/mm]
> A''(1)= ??? solltest du noch ausrechnen.
Habe ich doch. Oder nicht, also ein wenig weiter unten. Denn A''(1) = 0,5.
Ups, ich seh's gerade habe da nut A(1) = 0,5 stehen ;)
> > A(1) = 0,5 ; Bei der Stelle x = 1 liegt ein maximum vor.
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > A (-1) = -0,5 ; Bei der Stelle x = -1 liegt ein minimum
> > vor.
> nein, da ist A(x) nicht korrekt definiert.
A''(-1) = - 0,5 das wäre dann wohl der maximalste negative Flächeninhalt oder? Aber das möchte die Aufgabe gar nicht wissen oder? ;)
> > Wäre das so richtig?
> > Fehlt irgendwas?
>
> Die maximale Fläche hast du ja auch schon berechnet. Das
> wär's dann wohl.
Habe ich noch nicht. Die errechne ich doch jetzt indem ich x1 = 1 in A(x) einsetze nicht wahr? Das Ergebnis welches ich dann rausfinde müsste der maximalste Flächeninhalt sein. Stimmt's?
> Bis auf den verwirrenden Einstieg.
>
> Gruß informix
Bedanke mich nochmal für's Verbessern,
MfG
Kristof
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Hallo Kristof,
> > > A (x) = [mm]\bruch{1}{2}*[/mm] g(x) * h(x)
> > Wie kommst du denn auf diese erste Gleichung?
> > Was ist denn g(x) und h(x)?
>
> Also,
> Das habe ich aus dem Post von Kuebi erfahren.
> Nach deiner Zeichnung habe ich G aber auch selber erkennen
> können.
> G ist die Grundfläche des Dreieck's. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
nicht die Grundfläche sondern die Grundseite!
> Aber gut das du nochmal nachfragst, wieso eigentlich
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] g(x)?
> Ich weiß das g (x) = x ist. Würde es da nicht auch einfach
> reichen A(x) = g(x) * h(x) ?
Du musst schon genau lesen: G(x) = 2*x schreibt kuebi.
>
> Da muss ich auch nochmal nachfragen. Wieso ist h (x)
> eigentlich das gleiche wie die Funktionsvorschrift? Also
> das würde ja bedeuten die Höhe h des Dreiecks wäre die
> Funktionsvorschrift.
nein, die Höhe des Dreiecks ist jeweils gleich dem Funktionswert von f an der Stelle x.
Das ist etwas anderes.
> Das kann ich aber dann doch nicht so recht
> nachvollziehen...?
>
[mm]A (x) = \bruch{1}{2}*G(x) * h(x) =\bruch{1}{2}*2x*\bruch{1}{1+x^2}= \bruch{x}{1+x^2}[/mm]
Grundseite G und Höhe h hängen einfach noch von x ab, soll das heißen.
>
> >
> > > Ein Maximum liegt vor, wo die erste Ableitung = 0 ist und
> > > die 2. Ableitung ungleich 0 ist.
> > >
> > > A'(x) = [mm]\bruch{1-x^2}{(1+x^2)^2}[/mm]
> > > A' (x) = 0
> > >
> > > x1 = 1 ; x2 = -1
> > Sinnvoll ist nur x=1, für x=-1 würdest du ja eine negative
> > Fläche berechnen.
>
> Okay, also [mm]x_2[/mm] = -1 gar nicht aufnehmen oder?
> Könnte ja gegebenenfalls hinzufügen, das es bei -1 einen
> negativen Flächeninhalt geben würde ;)
genau so!
>
> > > Also ist der Flächeninhalt an den Stellen 1 und -1
> > > Extremal.
> > >
> > > Die Art des Extremas erkennt man am Voreichen des Ergebnis
> > > der 2. Ableitung.
> > > Für A'' (x) < 0 gilt maximum
> > > Für A'' (x) > 0 gilt minimum
> > >
> > > A''(x) = [mm]\bruch{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}[/mm]
> > A''(1)= ??? solltest du noch ausrechnen.
besser und deutlicher: [mm]A''(1) = \bruch{2*1^3-6*1}{(1+ 1^2)^3}= \bruch{-4}{8} < 0[/mm]
also liegt bei x=1 ein Maximum vor!
>
> Habe ich doch. Oder nicht, also ein wenig weiter unten.
> Denn A''(1) = 0,5.
> Ups, ich seh's gerade habe da nut A(1) = 0,5 stehen ;)
>
> > > A(1) = -0,5 ; Bei der Stelle x = 1 liegt ein maximum vor.
> > A (-1) = 0,5 ; Bei der Stelle x = -1 liegt ein minimum
> > > vor.
> A''(-1) = - 0,5 das wäre dann wohl der maximalste negative
> Flächeninhalt oder? Aber das möchte die Aufgabe gar nicht
> wissen oder? ;)
nein, A'' berechnet nicht den Flächeninhalt, sondern dient der Überprüfung der Extrema!
Die Fläche berechnest du durch $A(1) = [mm] \bruch{1}{2}$, [/mm] nur zufällig derselbe Wert wie bei A'' !!!
Gruß informix
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