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| Aufgabe | 1) Berechnen Sie die Ableitung (nach x):
[mm] \integral_{1}^{x}{(sin(t)/t) dt} [/mm] |
Hallo,
habe eine Frage zu dieser Aufgabe: Wie bestimmt man denn die Ableitung von einem Integral? Das verstehe ich nicht; das ist doch schon die Ableitung... ist die Lösung hier dann:
f'(x) = (sin(x)/x) - (sin(1)/1)
?? Wie funktioniert das denn sonst? Oder erst das Integral ausrechnen mit den Stammfunktionen und dann wieder ableiten??
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 22.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1) Berechnen Sie die Ableitung (nach x):
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{(sin(t)/t) dt}[/mm]
> Hallo,
> habe eine Frage zu dieser Aufgabe: Wie bestimmt man denn
> die Ableitung von einem Integral? Das verstehe ich nicht;
> das ist doch schon die Ableitung
Nein, hier ist die Integrationsvariable t, die Ableitungsvariable dagegen x
> ... ist die Lösung hier
> dann:
> f'(x) = (sin(x)/x) - (sin(1)/1)
> ?? Wie funktioniert das denn sonst? Oder erst das Integral
> ausrechnen mit den Stammfunktionen und dann wieder
> ableiten??
Der Zweite Weg ist der korrekte.
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}
[/mm]
[mm] =\underbrace{F(x)-F(1)}_{:=g(x)}
[/mm]
Die Stammfunktion bestimme am besten mit Hilfe der partiellen Integration (Zweimal)
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t}*\sin(t)dt}
[/mm]
[mm] =\left[\ln(t)*\sin(t)\right]_{1}^{x}-\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t}*\cos(t)dt}
[/mm]
[mm] =\left[\ln(t)*\sin(t)\right]_{1}^{x}-\left[\left[\ln(t)*\cos(t)\right]_{1}^{x}-\integral_{1}^{x}{-\bruch{1}{t}*\sin(t)dt}\right]
[/mm]
[mm] =\left[\ln(t)*\sin(t)\right]_{1}^{x}-\left[\ln(t)*\cos(t)\right]_{1}^{x}-\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t}*\sin(t)dt}
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}=\left[\ln(t)*\sin(t)\right]_{1}^{x}-\left[\ln(t)*\cos(t)\right]_{1}^{x}-\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t}*\sin(t)dt}
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}=\left[\ln(t)*\sin(t)\right]_{1}^{x}-\left[\ln(t)*\cos(t)\right]_{1}^{x}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}=\bruch{1}{2}\left[(\ln(t)*\sin(t)-(\ln(t)*\cos(t))\right]_{1}^{x}
[/mm]
Somit: [mm] g'(x)=\bruch{1}{2}\left[(\ln(t)*\sin(t)-(\ln(t)*\cos(t))\right]_{1}^{x}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\left[(\ln(x)*\sin(x)-(\ln(x)*\cos(x))\right]-\left[(\ln(1)*\sin(1)-(\ln(1)*\cos(1))\right]=...
[/mm]
Und jetzt berechne g'(x).
> Gruß,
> Anna
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 22.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo
>
> > 1) Berechnen Sie die Ableitung (nach x):
> >
> > [mm]\integral_{1}^{x}{(sin(t)/t) dt}[/mm]
> > Hallo,
> > habe eine Frage zu dieser Aufgabe: Wie bestimmt man
> denn
> > die Ableitung von einem Integral? Das verstehe ich nicht;
> > das ist doch schon die Ableitung
>
> Nein, hier ist die Integrationsvariable t, die
> Ableitungsvariable dagegen x
>
> > ... ist die Lösung hier
> > dann:
> > f'(x) = (sin(x)/x) - (sin(1)/1)
> > ?? Wie funktioniert das denn sonst? Oder erst das
> Integral
> > ausrechnen mit den Stammfunktionen und dann wieder
> > ableiten??
>
> Der Zweite Weg ist der korrekte.
Mag sein, aber es ist nicht immer ein gangbarer, ja kaum je ein sonderlich bequemer Weg.
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{\sin(t)}{t}dt}[/mm]
> [mm]=\underbrace{F(x)-F(1)}_{:=g(x)}[/mm]
>
> Die Stammfunktion bestimme am besten mit Hilfe der
> partiellen Integration (Zweimal)
Geht nicht: Stammfunktion ist der ![[]](/images/popup.gif) Integralsinus.
Aber wir benötigen, dank Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, die Stammfunktion gar nicht wirklich. Die Ableitung eines Integrals (mit stetigem Integranden) bezüglich der oberen Grenze ist der Wert des Integranden an der oberen Grenze. Also (im Widerspruch zur vom Fragesteller angegebenen Lösung):
[mm] [center]$\frac{d}{dx}\int_1^x \frac{\sin(t)}{t}\; dt=\frac{sin(x)}{x}$[/center]
[/mm]
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