Ableitung von ArcTan < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 So 07.05.2006 | | Autor: | Sunday |
| Aufgabe | Beweisen Sie für alle a > 0 und x > 0 die Gleichung:
arctan [mm] \bruch{x}{a} [/mm] + arctan [mm] \bruch{a}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Beweisen Sie das die Funktion
f(x) = arctan [mm] \bruch{x}{a} [/mm] + arctan [mm] \bruch{a}{x} [/mm]
konstant ist.
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Die Funktion ist ja konstant, wenn die erste Ableitung 0 ist, aber da ist schon das Problem, dass ich diese erste Ableitung net hinbekomme. Mich verwirrt das a in der Gleichung.
Die Ableitung von arctan(x) ist ja [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Wie muss ich da vorgehen?
Ist folgende Ableitung:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{1+ \left( \bruch{x}{a}\right)^{2}}+\bruch{1}{1+ \left( \bruch{a}{x}\right)^{2}}
[/mm]
schonmal richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 07.05.2006 | | Autor: | Sunday |
Wieso Kettenregel? Woran sehe ich denn, dass ich diese hier verwenden muss? Ich dachte die ist für verkettete Funktionen, wie [mm] (x+2)^2. [/mm] Wo ist hier die Verkettung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunday!
Du musst hier die  Kettenregel verwenden, da Du nicht nur $x_$ als Argument der [mm] $\arctan$-Funktion [/mm] vorliegen hast. Damit liegt auch automatisch eine verkette Funktion vor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 So 07.05.2006 | | Autor: | Sunday |
Hi,
okay mit Kettenregel komme ich dann für die 1. Ableitung auf 0.
[mm] \bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2}*\left(\bruch{x}{a}\right)'+\bruch{1}{1+\left(\bruch{a}{x}\right)^2}*\left(\bruch{a}{x}\right)'
[/mm]
entspricht:
[mm] \bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2}*\bruch{1}{a}+\bruch{1}{1+\left(\bruch{a}{x}\right)^2}*\bruch{-a}{x^2}
[/mm]
und weiter:
[mm] \bruch{1}{a+\bruch{x^2}{a}}+\bruch{-a}{x^2+a^2}
[/mm]
[mm] \bruch{a}{a^2+x^2}-\bruch{a}{x^2+a^2} [/mm] = 0
alles richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunday!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du hast jeweils die inneren Ableitungen gemäß 