Ableitung und konvexe Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 07.02.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] g:(0,\infty)\to\IR, g(x)=x^{x} [/mm] konvex ist. |
hallihallo,
eine funktion ist ja dann konvex, wenn die ableitung monoton wachsend ist.
ich muss also zeigen, dass fuer beliebige x1, x2 aus meinem definitionsbereich, wobei gilt x1<x2 auch g'(x1)<g'(x2) gilt.
bei der funktion kann ich dass doch bestimmt durch direktes einsetzen zeigen.
nun mein problem. ich habe keine ahnung wie ich die ableitung von g(x) berechne.
kann mir da vielleicht jemand einen tipp geben?
waer wirklich super :)
|
|
| |
|
hallo janyary,
genau, ich würde die zweite ableitung der funktion berechnen und dann mal schauen:
[mm] $g(x)=x^x=e^{\ln {x^x}}=e^{x\cdot \ln{x}}$
[/mm]
Den rest schaffst du alleine, oder? 
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 07.02.2006 | | Autor: | Janyary |
ok, vielen dank erstmal fuer die schnelle antwort.
g'(x)= [mm] (ln(x)+1)*x^{x}
[/mm]
hoffe ist erkennbar was ich meine ;)
wenn ich jetzt zeigen moechte, dass die ableitung monoton wachsend ist. kann ich dann z.b. sagen [mm] x^{x} [/mm] ist monoton wachsend und lnx ist monoton wachsend und deshalb ist auch meine ableitung monoton wachsend.
oder muss ich das direkt beweisen??
|
|
|
| |
|
Wie wärs denn damit, die zweite ableitung zu berechnen und zu zeigen, dass diese strikt größer als Null ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 07.02.2006 | | Autor: | Janyary |
hi, nochmals danke ;)
hab die folgerung mit der 2. ableitung erst spaeter entdeckt...
jetzt weiss ich aber auch was du meinst.
hab die mal gebildet und hoffe ist auch richtig...
also [mm] g''(x)=x^{x}*(ln^{2}x+2lnx+\bruch{1}{x}+1)
[/mm]
wenn ich jetzt zeigen soll, dass die immer groesser 0 ist. reicht es jetzt, wenn ich sage, dass aufgrund des definitionsbereiches diese ableitung nur groesser 0 sein kann? oder kann man das irgenwie wirklich beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 07.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jany
> hi, nochmals danke ;)
> hab die folgerung mit der 2. ableitung erst spaeter
> entdeckt...
> jetzt weiss ich aber auch was du meinst.
> hab die mal gebildet und hoffe ist auch richtig...
> also [mm]g''(x)=x^{x}*(ln^{2}x+2lnx+\bruch{1}{x}+1)[/mm]
>
> wenn ich jetzt zeigen soll, dass die immer groesser 0 ist.
> reicht es jetzt, wenn ich sage, dass aufgrund des
> definitionsbereiches diese ableitung nur groesser 0 sein
> kann? oder kann man das irgenwie wirklich beweisen?
Du solltest das von jedem Term einzeln zeigen, und so wie dus geschrieben hast, gilt das nicht sicher da lnx für x<1 negativ ist , also besser [mm] (lnx+1)^{2} [/mm] stehen lassen, und dann summe und produkt pos Größen ist pos und [mm] ()^{2} [/mm] ist immer [mm] \ge [/mm] 0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Di 07.02.2006 | | Autor: | Janyary |
oh das hab ich gar nicht bedacht. vielen dank :)
|
|
|
|
