Ableitung und Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Es seien f: [mm] \IR^{3}\to\IR, g:\IR^{2}\to\IR^{3} [/mm] die Funktionen
[mm] f(x,y,z)=e^{-2x}sin3xy-z
[/mm]
[mm] g(x,y)=\vektor{xsiny \\ x²+y² \\y}.
[/mm]
Berechnen Sie [mm] h:\IR^{2}\to\IR, [/mm] h(x,y)=f(g(x,y)) sowie den Gradienten von h (mit und ohne Kettenregel). |
Hallo,
ich bin mal wieder am Verzweifeln. Ich weiß überhaupt nicht, was ich eigentlich machen soll.
Wie berechne ich denn zunächst mal h? Also wie muss ich da vorgehen?
Danke für jeden Tipp!
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Nun, h ist ja einfach nur g eingesetzt in f.
Schnapp dir also die 1.Komponente von g, und setze sie da inf ein,wo dort das x steht. Dann setzt du die 2. Komponente dort ein, wo in f das y steht (das alte y, nicht dort, wo im ersten Schritt ein y hingekommen ist). Und dann das gleiche nochmal für die 3.Komponente.
Dann berechnest du den Gradienten,also [mm] $\nabla [/mm] h = [mm] \vektor{\partial_x h \\ \partial_y h \\ \partial_z h}$
[/mm]
Und dann nimmst du die Kettenregel, also [mm] $\vec \nabla (f(\vec g))=\left( \vec \nabla \vec g \right) *\left( [\vec \nabla f](\vec g)\right) [/mm] $
Die eckigen Klammern sollen andeuten, daß du als erstes f ableiten sollst, und anschließend erst die Komponenten von g hineinstecken sollst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Danke, das ging schnell! 
Also wäre [mm] h(x,y)=e^{-2xsiny}sin3(xsiny(x²+y²))-y [/mm] ??
Und stimmen die Klammern so? Was gehört denn in der Ursprungsaufgabe alles zum Sinus?
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Das sieht richtg aus! Ich denke auch, daß zu dem Sinus in der Aufgabe 3xy gehört. Das würde man normalerweise in Klammern schreiben, solltest du zur Sicherheit mit dem letzten Sinus in deiner Formel auch machen, nicht, daß einer denkt, das (x²+y²) gehört auch dazu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo,
ich bin immer noch nicht ganz zufrieden  .
Und ich will mich ungern um den Gradienten kümmern, bevor ich nicht weiß, dass mein h stimmt.
Ich bin noch ein bisschen verwirrt wegen dem Sinus. Wenn ich davon ausgehe, dass in der Ausgangsfunktion da steht sin(3xy), dann hätte ich an dieser Stelle jetzt nach dem Einsetzen doch stehen
sin((3xsiny)(x²+y²)), oder? Kann ich das dann noch irgendwie vereinfachen?
Danke, Katrin
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Ja, das ist vollkommen richtig, wobei du auch sin(3xsin(y)(x²+y²)) schreiben kannst!
Vereinfachen kannst du da auch nicht wirklich was, vielleicht sin(3sin(y)(x³+xy²)), das hilft beim Ableiten etwas, aber das wars dann auch schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Danke erst mal, dann habe ich jetzt mein h .
Jetzt sitze ich am Gradienten.
Du hattest geschrieben, dass der Gradient
[mm]\nabla h = \vektor{\partial_x h \\ \partial_y h \\ \partial_z h}[/mm] ist. Das bedeutet doch "auf Deutsch", ich muss mein h nach x, y und z ableiten und diese Ableitungen dann als Vektor untereinander schreiben, oder?
Ich habe aber doch jetzt in h gar kein z mehr. Also leite ich nur nach x und y ab?
Bei der Ableitung nach x komme ich auf [mm] 3*(3x²+y²)*cos(3sin(y)(x^{3}+xy²))*sin(y).
[/mm]
Das scheint zu stimmen, aber bei der Ableitung nach y komme ich nicht weiter.
Ich habe erst die Kettenregel und dann?
Zudem verstehe ich nicht, was damit gemeint ist, den Gradienten einmal mit und einmal ohne Kettenregel zu bestimmen?
Kann mir noch mal jemand weiterhelfen?
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Natürlich mußt du auch nach z ableiten! Was heißt denn das, wenn in der Funktion gar kein z steht? Oder anders: Wenn du f(x)=125 hast, und das nach x ableitest, was kommt denn daraus?
Sorry, wenn ich mich jetzt nicht um die ABleitungen kümmere, aber das sollte doch gehen. Zugegeben, es ist einiges an Schreibarbeit, du die Ketten- und Produktregel hier andauernd anwenden.
Um jetzt nochmal auf die Kettenregel der Aufgabenstellung zurückzukommen:
Was du jetzt grade machst, ist direkt [mm] $\nabla [/mm] h$ ausrechnen. Da aber h=f(g) ist, sollst du auch da die Kettenregel anwenden, wie genau du das machen sollst, habe ich ja oben schon erklärt. Leite die Funktion f nach x,y,z ab, schreibe das dann auch als Vektor, und setzte ANSCHLIESSEND erst g ein. Danach leitest du g nach x,y,z ab, und addierst die drei Ableitungen. Diese Summe multiplizierst du dann mit der als Vektor geschriebenen Ableitung von f. Was dabei raus kommt, sollte gleich dem sein, was du jetzt grade berechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 18.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Vielen Dank noch mal!!!
> Natürlich mußt du auch nach z ableiten! Was heißt denn das,
> wenn in der Funktion gar kein z steht? Oder anders: Wenn du
> f(x)=125 hast, und das nach x ableitest, was kommt denn
> daraus?
Dann ist die Ableitung nach z Null?
> Um jetzt nochmal auf die Kettenregel der Aufgabenstellung
> zurückzukommen:
> Was du jetzt grade machst, ist direkt [mm]\nabla h[/mm] ausrechnen.
> Da aber h=f(g) ist, sollst du auch da die Kettenregel
> anwenden, wie genau du das machen sollst, habe ich ja oben
> schon erklärt. Leite die Funktion f nach x,y,z ab, schreibe
> das dann auch als Vektor, und setzte ANSCHLIESSEND erst g
> ein. Danach leitest du g nach x,y,z ab, und addierst die
> drei Ableitungen. Diese Summe multiplizierst du dann mit
> der als Vektor geschriebenen Ableitung von f. Was dabei
> raus kommt, sollte gleich dem sein, was du jetzt grade
> berechnest.
OK, danke und sorry, dass ich so begriffsstutzig bin :-(.
Ich verstehe im Moment nicht wirklich viel.
Ich habe noch mal eine Frage zum Gradient von g: Ist es richtig, dass ich da dann eine Matrix rausbekomme?
Ich dachte eigentlich, sie müsste so aussehen:
[mm] \pmat{ 1. Faktor von g abgeleitet nach x & 1. Faktor von g abgeleitet nach y \\ 2. Faktor von g abgeleitet nach x & 2. Faktor von g abgeleitet nach y \\ 3. Faktor von g abgeleitet nach x & 3. Faktor von g abgeleitet nach y}
[/mm]
Aber das passt ja dann irgendwie nicht, weil ich dann eine 3x2-Matrix mit einem dreizeiligen Vektor multiplizieren müsste.
Kann mir noch mal jemand erklären, wie das mit dem Gradient von g funktioniert?
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Hallo Katrin,
die Multiplikationsreihenfolge ist:
f'(g(x)*g'(x)
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Nein, mir ist nicht klar, wie ich g ableite.
[mm]g(x,y)=\vektor{xsiny \\ x²+y² \\y}[/mm]
Ich denke, es muss irgendeine Matrix rauskommen, mir ist nur nicht so ganz klar, was in der drinstehen muss...
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Hallo Katrin,
> Nein, mir ist nicht klar, wie ich g ableite.
>
> [mm]g(x,y)=\vektor{xsiny \\ x²+y² \\y}[/mm]
>
> Ich denke, es muss irgendeine Matrix rauskommen, mir ist
> nur nicht so ganz klar, was in der drinstehen muss...
Die stand doch schon in deiner vorhergehenden Frag ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm]g(x,y)=\vektor{g_1(x,y) \\ g_2(x,y) \\ g_3(x,y)}=\vektor{xsiny \\ x²+y² \\y}[/mm]
Dann steht in deiner Matrix:
[mm] \pmat{ \bruch{\partial g_1(x,y)}{\partial x} & \bruch{\partial g_1(x,y)}{\partial y} \\ \bruch{\partial g_2(x,y)}{\partial x} & \bruch{\partial g_2(x,y)}{\partial y} \\ \bruch{\partial g_3(x,y)}{\partial x} & \bruch{\partial g_3(x,y)}{\partial y}}
[/mm]
Jetzt mußt Du die einzelnen Ableitungen bilden
[mm] \bruch{\partial g_1(x,y)}{\partial x}=\bruch{\partial (x*sin(y))}{\partial x}
[/mm]
Alles klar?
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Die Ableitung schon, danke.
Was mir jetzt noch nicht klar ist, ist Folgendes:
Ich habe doch jetzt den Gradienten von f als dreizeiligen Vektor.
Und dann habe ich den Gradienten von g als Matrix mit 2 Spalten und 3 Zeilen.
Nach der Kettenregel muss ich doch die beiden multiplizieren. Aber das geht doch gar nicht? Ich dachte, ich kann nur muptiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors (=1) mit der Anzahl der Zeilen des zweiten (=3) übereinstimmt. Mir ist nicht klar, wie ich da multiplizieren soll?
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Hallo Katrin,
> Was mir jetzt noch nicht klar ist, ist Folgendes:
> Ich habe doch jetzt den Gradienten von f als dreizeiligen
> Vektor.
![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") Jetzt hab ich glaub ich das Problem verstanden die Jacobimatrix(f' oder Jf oder Df wir ihr das auch immer hattet) wird analog zu der von g gebildet.
[mm] \pmat{ \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial x} & \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial y} & \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial z}}
[/mm]
sie lautet also [mm] gradf^T
[/mm]
> Und dann habe ich den Gradienten von g als Matrix mit 2
> Spalten und 3 Zeilen.
>
> Nach der Kettenregel muss ich doch die beiden
> multiplizieren. Aber das geht doch gar nicht? Ich dachte,
> ich kann nur muptiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten
> des ersten Faktors (=1) mit der Anzahl der Zeilen des
> zweiten (=3) übereinstimmt. Mir ist nicht klar, wie ich da
> multiplizieren soll?
Jetzt klarer?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
OK, danke! Das Transponier-T war die Lösung!
Dann funktioniert es aber trotzdem nur, wenn ich [mm] \left( [\vec \nabla f](\vec g)\right)*\left( \vec \nabla \vec g \right) [/mm] nehme, oder? Dann habe ich eine 1x3- mal eine 3x2-Matrix und das würde ja funktionieren.
Bloß dachte ich, dass es nicht egal sei, wie rum man multipliziert und Event_Horizon hatte ja geschrieben, dass ich [mm]\vec \nabla (f(\vec g))=\left( \vec \nabla \vec g \right) *\left( [\vec \nabla f](\vec g)\right)[/mm] rechnen soll und dann würde es nicht mehr passen, oder bin ich jetzt vollkommen falsch?
ETA: Ich geb's auf, selbst wenn das stimmen sollte, käme da ja jetzt eine 1x2-Matrix raus, die kann doch nie und nimmer das gleiche sein wie der dreizeilige Gradient, den ich bei h direkt berechnet hatte?
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Hallo nochmal,
> OK, danke! Das Transponier-T war die Lösung!
Bitte
> Dann funktioniert es aber trotzdem nur, wenn ich [mm]\left( [\vec \nabla f](\vec g)\right)*\left( \vec \nabla \vec g \right)[/mm]
> nehme, oder? Dann habe ich eine 1x3- mal eine 3x2-Matrix
> und das würde ja funktionieren.
Die Multiplikationsreihenfolge ist wichtig und auch richtig "sorum" da hatte Event_Horizon einen kleinen Dreher.
>
> ETA: Ich geb's auf, selbst wenn das stimmen sollte, käme da
> ja jetzt eine 1x2-Matrix raus, die kann doch nie und nimmer
> das gleiche sein wie der dreizeilige Gradient, den ich bei
> h direkt berechnet hatte?
Da muß eine (1,2) Matrix rauskommen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
OK, vielen, vielen Dank, dann denke ich, ist das (fast) klar.
Ich hätte dich früher treffen sollen .
Das bedeutet, dass ich bei dem Gradienten von h nur nach x und nach y ableite und damit dann 2 Zeilen habe. Da die wahrscheinlich auch transponiert werden, würde es dann ja passen. Das heißt aber, dass Event_horizons Aussage, dass ich h auch nach z ableiten muss, ebenfalls nicht richtig war, oder?
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Hallo Katrin85,
> Das bedeutet, dass ich bei dem Gradienten von h nur nach x
> und nach y ableite und damit dann 2 Zeilen habe. Da die
> wahrscheinlich auch transponiert werden, würde es dann ja
> passen. Das heißt aber, dass Event_horizons Aussage, dass
> ich h auch nach z ableiten muss, ebenfalls nicht richtig
> war, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
h hängt nicht von z ab also braucht man nicht nach z ableiten.
viele Grüße
mathemaduenn
P.S.:Was hat man sich unter Sportinformatik vorzustellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
> h hängt nicht von z ab also braucht man nicht nach z
> ableiten.
Oh Mann, genau das hatte ich gefragt und dann habe ich die Antwort bekommen, dass ich "natürlich" nach z ableiten müsse! :-(
Naja, es kann ja nicht jeder alles wissen und jetzt habe ich nach langem Hin und Her ja doch noch die Aufgabe gelöst.
Vielen, vielen Dank noch mal!
> P.S.:Was hat man sich unter Sportinformatik vorzustellen?
Tja, das fragt jeder . Im Prinzip studieren wir im Grundstudium ganz normal Sport (auf Diplom) plus Mathe I und II (für E-Techniker...), an dem wir alle verzweifeln plus dazu noch Informatik I und II. Im Hauptstudium kommen dann solche Sachen hinzu wie Datenbanksysteme, Grafische Datenverarbeitung, Informations- und Datenschutzrecht, Betriebssysteme, das Feld der EDV in der Sportwissenschaft und im Sport, also bspweise Standardsoftware, Grafik/Animation, Messwertaufnahme, Trainings-/Wettkampforganisation, Sportverein (Organisation, Verwaltung), Literaturverwaltung usw. usf. Klingt eigentlich alles sehr interessant, aber zu dem Informatik-Teil kann ich noch nicht so viel sagen, da ich ja leider erst mal Mathe bestehen muss...
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Hallo Event_Horizon,
> Und dann nimmst du die Kettenregel, also [mm]\vec \nabla (f(\vec g))=\left( \vec \nabla \vec g \right) *\left( [\vec \nabla f](\vec g)\right)[/mm]
Die Schreibweise [mm] $\vec{\nabla} \vec{ g}$ [/mm] finde ich etwas ungewöhnlich. Habt ihr das so gemacht? Ich kenn nur die Interpretation über Jacobimatrizen.
viele Grüße
mathemaduenn
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