Ableitung und Extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktionen f , g ∶ R∗
+ → R mit
f (x) = [mm] x^x [/mm] und g(x) = sin [mm] (\bruch{1}{x^2+1})
[/mm]
(a) Berechnen Sie die Ableitungen f ′ und g′.
(b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f und g. |
Hallo,
die Ableitung von f(x) habe ich mit der Ketten- und Produktregel gelöst [mm] f´(x)=(1+log(x))e^{xlog(x)} [/mm] was nach lösung auch richtig ist.
Mit welcher Regel muss ich den die zweite lösen. Ich dachte an Ketten- und Quotientenregel bin mir aber ehrlich gesagt nicht sicher.
Kann mir jemand sagen ob das stimmt?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Funktionen f , g ∶ R∗
> + → R mit
> f (x) = [mm]x^x[/mm] und g(x) = sin [mm](\bruch{1}{x^2+1})[/mm]
> (a) Berechnen Sie die Ableitungen f ′ und g′.
> (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f und g.
> Hallo,
>
> die Ableitung von f(x) habe ich mit der Ketten- und
> Produktregel gelöst [mm]f´(x)=(1+log(x))e^{xlog(x)}[/mm] was nach
> lösung auch richtig ist.
>
> Mit welcher Regel muss ich den die zweite lösen. Ich
> dachte an Ketten- und Quotientenregel bin mir aber ehrlich
> gesagt nicht sicher.
> Kann mir jemand sagen ob das stimmt?
Es stimmt
FRED
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bei der b bin ich gerade ganz verwirrt :S
Die Gleichung f ′(x) = 0 liefert
log x + 1 = 0
log x = −1
x [mm] =\bruch{1}{e}
[/mm]
f"(x)= log (x + [mm] 1)^2 e^x [/mm] log(x) + [mm] \bruch{1}{x}e^x [/mm] log(x)
d.h.:
[mm] f"(1/e)=log(\bruch{1}{e}+1)^2 e^{\bruch{1}{e}} log(\bruch{1}{e})+\bruch{1}{\bruch{1}{e}}*e^{\bruch{1}{e}}log(\bruch{1}{e})
[/mm]
und hier bin ich jz total durcheinander gekommen wegen den ganzen log und e. Welche fallen den jz alles weg :S
ich habe zwar
f"(1/e)= [mm] (1+1)^2 e^{/bruch{1}{e}} [/mm] +e* [mm] e^{/bruch{1}{e}}
[/mm]
bin mir aber relativ sicher, dass das falsch ist :S
Lg Melisa
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Hiho,
schau doch nächstemal bitte, dass deine Formeln auch gut aussehen UND schreib den natürlichen Logarithmus als [mm] $\ln$, [/mm] das machts auch ein bisschen einfacher.....
dann wollen wir mal:
$f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{\ln(x^x)} [/mm] = [mm] e^{x\ln(x)}$
[/mm]
Nun leiten wir mal ab:
$f'(x) = [mm] e^{x\ln(x)}*\left(\ln(x) + 1\right) [/mm] = [mm] x^x*\left(\ln(x) + 1\right)$
[/mm]
Deine kritische Stelle ist dann korrekt.
$f''(x) = [mm] x^x*\left(\ln(x) + 1\right)^2 [/mm] + [mm] x^{x-1}$
[/mm]
So, nun setz nochmal ein und beachte: [mm] $\ln(\bruch{1}{e}) [/mm] = [mm] \ln(e^{-1}) [/mm] = - [mm] \ln(e) [/mm] = -1$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 17.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe jz:
[mm] f"(1/e)=1/e^{\bruch{1}{e}}*(1-1)^2+\bruch{1}{e}^{(1/e)-1}=\bruch{1}{e}^{(1/e)-1}>0 [/mm] also Min
stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe jz:
>
> [mm]f"(1/e)=1/e^{\bruch{1}{e}}*(1-1)^2+\bruch{1}{e}^{(1/e)-1}=\bruch{1}{e}^{(1/e)-1}>0[/mm]
> also Min
>
> stimmt das so?
Ja
FRED
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