Ableitung ohne Grenzwert < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 10.12.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | Ableitung ohne Grenzwert:
Sei R ein Ring. Wir fassen eine natürliche Zahl n [mm] \in \IN [/mm] als Element von R auf, indem wir [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 [mm] \in [/mm] R setzen. Für ein Polynom P = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i*X_i \in \IR[X] [/mm] definieren wir die Ableitung:
P' = [mm] \summe_{i=0}^{n} i*a_i*X^{i-1}.
[/mm]
1.) Zeigen Sie die Linearität der Ableitung, d.h. für alle a,b [mm] \in [/mm] R und P,Q [mm] \in [/mm] R[X] gilt (a*P + b*Q)' = a*P' + p*Q'.
2.) Zeigen Sie die Produktregel (P*Q)' = P'*Q + P*Q' für alle P,Q [mm] \in [/mm] R[X]. |
Hallo,
Ich verstehe bei der ersten Aufgabe nicht, warum da ein p steht... Linearität heißt doch eigentlich, dass (P + Q)' = P' + Q' gilt, also wäre diese Regel mit Konstanten multipliziert doch sowas: (a*P + b*Q)' = a*P' + b*Q' ...oder nicht?
Wo kommt das p her?
Ansonsten ist die definierte Ableitung ja nicht so schwer nachzuvollziehen.
zu der 2. habe ich leider keinen Ansatz wie ich das ohne den normalen Grenzwert der Ableitung machen soll...
hat vllt jemand einen Tipp für die Aufgaben?
LG, Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 So 10.12.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Andi!
> Ableitung ohne Grenzwert:
> Sei R ein Ring. Wir fassen eine natürliche Zahl n [mm]\in \IN[/mm]
> als Element von R auf, indem wir [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1 [mm]\in[/mm] R
> setzen. Für ein Polynom P = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_i*X_i \in \IR[X][/mm]
> definieren wir die Ableitung:
> P' = [mm]\summe_{i=0}^{n} i*a_i*X^{i-1}.[/mm]
>
> 1.) Zeigen Sie die Linearität der Ableitung, d.h. für alle
> a,b [mm]\in[/mm] R und P,Q [mm]\in[/mm] R[X] gilt (a*P + b*Q)' = a*P' +
> p*Q'.
>
> 2.) Zeigen Sie die Produktregel (P*Q)' = P'*Q + P*Q' für
> alle P,Q [mm]\in[/mm] R[X].
> Hallo,
>
> Ich verstehe bei der ersten Aufgabe nicht, warum da ein p
> steht... Linearität heißt doch eigentlich, dass (P + Q)' =
> P' + Q' gilt, also wäre diese Regel mit Konstanten
> multipliziert doch sowas: (a*P + b*Q)' = a*P' + b*Q'
> ...oder nicht?
> Wo kommt das p her?
Das ist ein Tippfehler, das soll ein $b$ sein. Ist also schon so wie du dir das gedacht hast.
> Ansonsten ist die definierte Ableitung ja nicht so schwer
> nachzuvollziehen.
>
> zu der 2. habe ich leider keinen Ansatz wie ich das ohne
> den normalen Grenzwert der Ableitung machen soll...
Benutze die Linearitaet: setze allgemeine Polynome fuer $P$ und $Q$ ein, also $P = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$ [/mm] und $Q = [mm] \sum_{j=0}^m b_j x^j$ [/mm] oder so, multipliziere beide Seiten aus und wende die Linearitaet der Ableitung an. Dann solltest du es mit etwas Umformen erledigen koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 11.12.2006 | | Autor: | gore |
Hey,
Danke für deine Antwort. Das hat mir schon mal geholfen und ich habe die 2. Aufgabe gelöst :)
Aber bei der ersten Aufgabe (zeigen, dass gilt: (a*P + b*Q)' = a*P' + b*Q') weiß ich nicht, wie ich die Summen von a*P und b*Q zusammenfassen kann. Kann man diese Summen [mm] P=\summe_{i=0}^{n} a_i*X_i [/mm] und [mm] Q=\sum_{j=0}^m b_j x^j [/mm] überhaupt irgendwie addieren, damit man ableiten kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 12.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] P=\summe_{i=0}^{n} a_{i}\cdot{}x^{i} [/mm] und [mm] Q=\summe_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}
[/mm]
Wenn du den Laufindex bei Q veränderst, was ja kein Problem darstellt, gilt.
[mm] Q=\summe_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}
[/mm]
[mm] =\summe_{\red{i}=0}^{m} b_{\red{i}}x^{\red{i}}
[/mm]
Und dann kannst du schonmal addieren.
Das einzige Problem ist, dass die Obergrenzen von P und Q noch ungleich sind.
Jetzt kannst du eine Fallunterscheidung machen.
m=n
Dann hast du gar kein Problem und kannst direkt zusammenfassen:
[mm] P+Q=\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{n} b_{n}x^{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}+b_{i}x^{i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n} (a_{i}+b_{i})x^{i}+
[/mm]
Wenn [mm] m\not=n [/mm] kannst du auf der "kleineren" Seite einige [mm] a_{i}´s [/mm] bzw. [mm] b_{i}´s [/mm] je nachdem, welches Polynom den geringeren Grad hat, hinzufügen, die aber allesamt Null sind. Das verändert ja das Polynom nicht, aber du kannst dann genauso addieren, wie im Fall m=n.
Nehmen wir mal Q
[mm] \summe_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=m+1}^{n} 0*x^{i}+\summe_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n} b_{i}x^{i}, [/mm] mit [mm] i_{m+1},...,i_{n}=0 [/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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