Ableitung log nach beta < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie das die Cobb-Douglas Produktionsfunktion ein Unterfall der CES-Funktion ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe
[mm] \limes_{b \to \ 0}(\alpha_i x_i^b+...+\alpha_i x_i^b)^{1/b}
[/mm]
wenn ich das nun log., hole ich das b in den Nenner.
[mm] \limes_{b \to \ 0}\log(\alpha_i x_i^b+...+\alpha_i x_i^b)/b
[/mm]
jetzt L'Hopitals Hilfssatz (nach b ableiten). Wie leite ich nun den Zähler
[mm] \partial\log(\alpha_i x_i^b+...+\alpha_i x_i^b) [/mm] ab?
Als Ergebnis sollte
[mm] \produkt_{i=1}^{n}x_i^{\alpha_i} [/mm] rauskommen.
Hätte da jemand viell. einen Tipp? :) Vielen Dank für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Do 28.09.2006 | | Autor: | jbulling |
Hi, ohje ich werde heute wohl von Makro verfolgt :o(
Hatte heute Abend eine Makro-Klausur.
Öhm kannst Du Deine Angaben bitte nochmal prüfen? Ergibt das so einen Sinn?
Schreib einfach mal rein, was eine CES-Funktion ist. Ich kenne zwar Cobb-Douglas, aber CES sagt mir grad nix.
Besonders das hier gibt eigentlich keinen Sinn:
$ [mm] \limes_{b \to \ 0}(\alpha_i x_i^b+...+\alpha_i x_i^b)^{1/b} [/mm] $
ich schätze mal, dass da was mit den Indexen nicht stimmt. Deshalb weiss ich nicht, ob der Exponent tatsächlich immer b ist, oder, ob das auch ein Schreibfehler ist.
Sollte das evtl heissen:
$ [mm] \limes_{b \to \ 0}(\alpha_1 x_1^b+...+\alpha_2 x_2^b)^{1/b} [/mm] $?
Gruß
Jürgen
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Ups! Ja, Du hast recht. Es sollte so aussehen
[mm] \limes_{b \to \ 0}(\alpha_1 x_1^b+...+\alpha_i x_i^b)^{1/b}
[/mm]
Eine CES-Funktion ist eine Produkotionsfunktion und mit [mm] \limes_{b \to \ 0} [/mm] sollen wir zeigen, dass die Cobb-Douglas Funktion eine Unterfall von der CES-Funktion ist.
Das b im Nenner wird ja durch das ableiten 1, also brauch ich nur noch die Ableitung vom Zähler.
[mm] \partial\log(\alpha_1 x_1^b+...+\alpha_i x_i^b)
[/mm]
Und auf diese Ableitung kommen wir nicht :(
PS: Allokationstheorie heißt die Vorlesung. Makro haben wir gott sei Dank schon hinter uns... :)
Grüße
Henning
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Lösung (Juhuuu :) !):
[mm] \partial\log(\alpha_1 x_1^b+...+\alpha_n x_n^b)
[/mm]
Ableitung + als Summe geschrieben: [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(\alpha_i \log x_i x_i^b)}{\summe_{i=1}^{n}(\alpha_i x_i^b)} [/mm]
Regeln dazu:
1.) [mm] a^{x}=\log a*a^{x} \Longleftarrow [/mm] Ableitung nach x
2.) [mm] \log a=\bruch{1}{a} \Longleftarrow [/mm] Ableitung von log
nun [mm] \limes_{b \to \ 0} [/mm] hier nach wird der Nenner 1 da auch [mm] \summe \alpha=1
[/mm]
im Nenner wird [mm] x_i^b=1 [/mm] (auch durch lim)
übrig bleibt also [mm] \alpha_i \log x_i [/mm]
Rechenregel zu log: [mm] \log x_i^\alpha=\alpha*\log x_i [/mm] umgekehrt anwenden
mit dem Summenzeichen geschrieben: [mm] \summe_{i=1}^{n} \log x_i^\alpha_i
[/mm]
Rechenregel: [mm] \log(x*y)= \log(x)+ \log(y)
[/mm]
Tataaaa: :) [mm] \produkt_{i=1}^{n}x_i^\alpha_i
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Do 28.09.2006 | | Autor: | jbulling |
Hallo Händler,
gratuliere!
Das war übrigens die Kettenregel :o)
Ich habe übrigens Allokationstheorie schon. Wenigstens was. Nur Makro fehlt mir noch und dann noch Wachstum, Verteilung und Konjunktur. Wenn ich Makro habe, dann geh ich glaub erst mal feiern! Die Formeln sind sooooo eklig. Hey vielleicht sollte ich mal ein paar hier posten *droh*
Man sieht das aber auch schon an Deiner Rechenweise, dass Volkswirte rein überhaupt keine Skrupel kennen :o)
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 29.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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