Ableitung kompl. Funktionen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass doe Abbildung f(z)= [mm] |z|^2, [/mm] z [mm] \varepsilon \IC, [/mm] in z=0 differenzierbar mit f'(0)=0 und sonst nirgends differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
f(z)= [mm] |z|^2 [/mm] ist ja dasselbe wie f(x)= [mm] z*\overline{z}.
[/mm]
Ich gehe über den Grenzwert des Differenzenquotienten erstmal mit z gegen 0 und möchte so zeigen, dass die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist, also gegen den Grenzwert 0 strebt:
[mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{z*\overline{z}-z_{0}*\overline{z_{0}}}{z-z_{0}}
[/mm]
Wenn jetzt gilt z [mm] \to z_{0},
[/mm]
dann wird die ein Teil des Zählers " [mm] z*\overline{z} [/mm] " = 0 und auch der Nenner
" [mm] z-z_{0} [/mm] " näher sich 0. also habe ich noch dastehen:
[mm] \limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{z_{0}*\overline{z_{0}}}{0}
[/mm]
Aber damit habe ich ja noch nicht gezeigt, dass f(z) an der Stelle z=0 differenzierbar mit f(0)=0 ist, da hier nicht 0 rauskommt?
Und wenn ich zeigen möchte, dass f(z) an keiner anderen Stelle differenzierbar ist, gehe ich genauso vor, nur dass dann z [mm] \to z_{0} [/mm] läuft?
Danke für mögliche Hilfe!
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Zeigen Sie, dass doe Abbildung f(z)= [mm]|z|^2,[/mm] z [mm]\varepsilon \IC,[/mm]
> in z=0 differenzierbar mit f'(0)=0 und sonst nirgends
> differenzierbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> f(z)= [mm]|z|^2[/mm] ist ja dasselbe wie f(x)= [mm]z*\overline{z}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich gehe über den Grenzwert des Differenzenquotienten
> erstmal mit z gegen 0 und möchte so zeigen, dass die
> Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist, also gegen
> den Grenzwert 0 strebt:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{z*\overline{z}-z_{0}*\overline{z_{0}}}{z-z_{0}}[/mm]
Da muss doch mit [mm]z_0=0[/mm] stehen: [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{z\overline{z}}{z}=\lim\limits_{z\to 0}\overline{z}=0[/mm]
>
> Wenn jetzt gilt z [mm]\to z_{0},[/mm]
> dann wird die ein Teil des
> Zählers " [mm]z*\overline{z}[/mm] " = 0 und auch der Nenner
> " [mm]z-z_{0}[/mm] " näher sich 0. also habe ich noch dastehen:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow\ 0} \bruch{z_{0}*\overline{z_{0}}}{0}[/mm]
>
> Aber damit habe ich ja noch nicht gezeigt, dass f(z) an der
> Stelle z=0 differenzierbar mit f(0)=0 ist, da hier nicht 0
> rauskommt?
>
> Und wenn ich zeigen möchte, dass f(z) an keiner anderen
> Stelle differenzierbar ist, gehe ich genauso vor, nur dass
> dann z [mm]\to z_{0}[/mm] läuft?
Benutze lieber mal die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
Dann ist das Ganze ein Klacks!
>
> Danke für mögliche Hilfe!
>
> Liebe Grüße
Gruß
schachuzipus
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Soweit ich weiß haben wir besagt Cauchy Riemannsche Differenzialgleichungen noch nicht behandel- kann ich den Beweis nicht über den "gewohnten" Differenzenquotienten angehen?
Oder sonst, wie gehe ich ihn mit diesen Cauchy Riemannsche Differenzialgleichungen an?
Nur ein Hinweis bitte!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist f(z)= $ [mm] |z|^2= [/mm] u(z)+iv(z)= [mm] x^2+y^2$ [/mm]
u und v sind Real- bzw Imaginärteil von f, also [mm] u(z)=u(x+iy)=x^2+y^2 [/mm] und v(z)=v(x+iy)= 0
Ist nun [mm] z_0 \in \IC, [/mm] so gilt:
f ist in [mm] z_0=x_0+iy_0 [/mm] komplex differenzierbar
[mm] \gdw
[/mm]
u und v sind in [mm] (x_0,y_0) [/mm] reell differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemannschehen Dglen:
[mm] u_x(z_0)=v_y(z_0) [/mm] , [mm] u_y(z_0)=-v_x(z_0)
[/mm]
Nun ist [mm] u_x=2x [/mm] , [mm] u_y [/mm] = 2y und [mm] v_x=v_y=0
[/mm]
Klar dürfte sein, dass u und v reell differenzierbar sind. Aber die Cauchy-Riemannschehen Dglen sind nur in [mm] z_0=0 [/mm] erfüllt.
FRED
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Erstmal: Danke für die Antwort!
Jedoch sind diese Cauchy Schwarschen dgl. Neuland und es müsste doch einen (evt etwas umständlicheren) Weg geben, zu zeigen, dass die Funktion in keinem anderen Punkt als z=0 mit f(0)=0 differenzierbar ist?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Betrachte einmal
$ [mm] \bruch{z\cdot{}\overline{z}-z_{0}\cdot{}\overline{z_{0}}}{z-z_{0}} [/mm] $ für z=t +i [mm] Im(z_0) [/mm] mit t [mm] \to Re(z_0)
[/mm]
und dann für [mm] z=Re(z_0) [/mm] +it mit t [mm] \to Im(z_0)
[/mm]
FRED
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Hallo zusammen,
Habe mir zu der Aufgabe jetzt folgenden Lösungsweg überlegt:
Man setzt für die Differenzierbarkeit einer komplexen Funktion hier [mm] z=|z|^2 [/mm] ja voraus, dass, wenn sie differenzierbar ist, z auf beliebigem Wege gegen [mm] z_{0} [/mm] laufen darf und jedesmal soll der Grenzwert des Differenzenquotienten denselben Wert haben!
D.h. "schickt" man z einer komplexe Funktion horizontal (auf der Re-Achse) und vertikal (auf der Im-Achse) gegen [mm] z_{0}, [/mm] sollte man zwei identische Werte erhalten, sofern die Funktion differenzierbar ist?!
Das legt den Schluss nahe partiell nach dem Real bzw. Imaginärteil z=(x,y) abzuleiten und zu schauen, unter welchen Bedingungen dieselben Werte dabei rauskommen-bzw wann nicht:
[mm] |z|^2=x^2+y^2 [/mm] und jetzt jeweils partiell nach x bzw y abgeleitet:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}=2x [/mm] und
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}=2y
[/mm]
nun sieht man, dass die Werte lediglich für [mm] z_{0}=0 [/mm] übereinstimmen, sonst ist es nicht möglich. Daraus schließe ich, dass die Funktion eben nur in diesem Punkt differenzierbar ist.
Ist das ein korrekter Weg so?
Wäre für konstruktive Kritik (bzw. Bestätigung, falls richtig=) dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Theortix,
die anderen Antworten hast du aber schon wahrgenommen, oder?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Antwort von Fred
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Habe ich hier
https://matheraum.de/read?i=728864
etwas anderes vorgeschlagen ????
FRED
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