Ableitung einer Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion u [mm] \in \IC^2 (\IR^2;\IR) [/mm] und
[mm] \Phi:G={{ (r,\phi)\in \IR^2:r>0;-\pi<\phi<\pi }} \to \IR^2 [/mm] mit
[mm] \Phi(r,\phi)=\vektor{r cos \phi \\ r sin \phi}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Ableitung von [mm] \nu=u\circ\Phi:G \to \IR.
[/mm]
b) Man verifziere in G die Gültigkeit der Beziehung
[mm] ∆u=u_{xx}+u_{yy}=\nu_{rr}+1/r \nu_{r}+1/r^2 \nu_{\phi\phi}.
[/mm]
(Laplaceoperator in Polarkoordinaten)
Dabei ist [mm] u_{xx}≔(\partial^2 u)/(\partial [/mm] x [mm] \partial [/mm] x), [mm] u_{yy}≔(\partial^2 u)/(\partial [/mm] y [mm] \partial [/mm] y)…usw. |
Hallo,
also bei dieser Aufgabe ist mir vor allem bei b) eigentlich komplett schleierhaft, wie genau ich das tun soll.
Allerdings scheitere ich ja schon bei a)...was z.B. daran liegt das ich nicht wirklich weiß was [mm] \IC^2 [/mm] genau heißt.
Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich in etwa vorgehen muss und das vllt. so erklären kann, dass ich es ein bisschen besser verstehe...
Danke schonmal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei eine Funktion u [mm]\in \IC^2 (\IR^2;\IR)[/mm] und
> [mm]\Phi:G={{ (r,\phi)\in \IR^2:r>0;-\pi<\phi<\pi }} \to \IR^2[/mm]
> mit
> [mm]\Phi(r,\phi)=\vektor{r cos \phi \\ r sin \phi}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Ableitung von [mm]\nu=u\circ\Phi:G \to \IR.[/mm]
>
> b) Man verifziere in G die Gültigkeit der Beziehung
> [mm]∆u=u_{xx}+u_{yy}=\nu_{rr}+1/r \nu_{r}+1/r^2 \nu_{\phi\phi}.[/mm]
>
> (Laplaceoperator in Polarkoordinaten)
> Dabei ist [mm]u_{xx}≔(\partial^2 u)/(\partial[/mm] x [mm]\partial[/mm] x),
> [mm]u_{yy}≔(\partial^2 u)/(\partial[/mm] y [mm]\partial[/mm] y)…usw.
> Hallo,
>
> also bei dieser Aufgabe ist mir vor allem bei b) eigentlich
> komplett schleierhaft, wie genau ich das tun soll.
Den Laplace-Operator in Polarkoordinaten aufstellen.
Du sollst die Ableitung der Funktion [mm] $\nu$ [/mm] nach der Kettenregel ausrechnen, das heisst durch die Ableitung von u ausdrücken.
> Allerdings scheitere ich ja schon bei a)...was z.B. daran
> liegt das ich nicht wirklich weiß was [mm]\IC^2[/mm] genau heißt.
Der Raum der zweimal stetig diff'baren Funktionen - damit die gesuchten Ableitungen überhaupt definiert sind.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mi 05.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
wie rainerS sagte, Kettenregel.
[mm] x_r=cos(\phi)
[/mm]
[mm] y_r=sin(\phi)
[/mm]
[mm] x_{\phi}=-r*sin(\phi)
[/mm]
[mm] y_{\phi}=r*cos(\phi)
[/mm]
[mm] u_r(x,y)=u_x*x_r+u_y*y_r
[/mm]
[mm] u_{rr}=(u_{xx}*x_r+u_{xy}*y_r)*x_r+u_x*x_{rr}+(u_{yx}*x_r+u_{yy}*y_r)*y_r+u_y*y_{rr} [/mm] und das Gleiche für [mm] \phi
[/mm]
[mm] u_{\phi\phi}=(u_{xx}*x_{\phi}+u_{xy}*y_{\phi})*x_{\phi}+u_x*x_{\phi\phi}+(u_{yx}*x_{\phi}+u_{yy}*y_{\phi})*y_{\phi}+u_y*y_{\phi\phi}
[/mm]
Alles einsetzen und [mm] cos(\phi)^2+sin(\phi)^2=1 [/mm] beachten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Do 06.05.2010 | | Autor: | puschel89 |
Danke für die schnelle Hilfe, nach dem Wälzen einiger Bücher denke ich habe ich jetzt verstanden, wie das alles funktioniert bzw. wie ich das zu verstehen habe. :)
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