Ableitung einer Funktion < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sarah288 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin gerade dabei, die Wendestellen der Standard-Glockenfunktion zu berechnen. Nun erschließt sich mir ein Problem. Die Funktion lautet: 1/wurzel aus 2pi*e^(-1/2*k²)
Die erste Ableitung lautet doch : 1/wurzel aus 2pi*e^(-1/2*k²)*(-k)
und die zweite: 1/wurzel aus 2pi*e^(-1/2*k²)*(-1+k²)
wie lautet aber die dritte Ableitung, die ich für die Wendestellenberechnung ja benötige???
Bitte um Hilfe... Sarah
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Hallo Sarah88,
> wie lautet aber die dritte Ableitung, die ich für die
> Wendestellenberechnung ja benötige???
Nutzen wir hier doch die Rekursivität (die "immer wiederkehrende strukturelle Darstellung") der Ableitung der Dichtefunktion der Gausschen Glockenkurve aus.
> Hallo, ich bin gerade dabei, die Wendestellen der
> Standard-Glockenfunktion zu berechnen. Nun erschließt sich
> mir ein Problem. Die Funktion lautet: 1/wurzel aus
> 2pi*e^(-1/2*k²)
Ok, setzen wir also:
[mm]f(k) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5k^2}.[/mm]
> Die erste Ableitung lautet doch : 1/wurzel aus
> 2pi*e^(-1/2*k²)*(-k)
Richtig. Und offenbar gilt dann doch:
[mm]f'(k) = -kf(k)[/mm]
> und die zweite: 1/wurzel aus 2pi*e^(-1/2*k²)*(-1+k²)
>
Ab hier benutzen wir nur noch die obige Formel! So bleibt es übersichtlich:
[mm]f''(k) = \frac{\partial}{\partial k}f'(k) = \frac{\partial}{\partial k}(-k)\cdot{f(k)} = -f(k) -kf'(k) = -f(k) + k^2f(k)[/mm]
und die 3te Ableitung lautet dann entsprechend:
[mm]f^{(3)}(k) = \frac{\partial}{\partial k}f''(k) = \frac{\partial}{\partial k}\left(-f(k) + k^2f(k)\right).[/mm]
Und jetzt wende einfach wieder die Formel an.
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sarah288 |
was bedeutet denn dieses zeichen, das immer wieder im Nenner und Zähler auftaucht??
[mm] \partial [/mm] ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 21.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Hallo!
[mm]\bruch{\partial}{\partial x} f[/mm] bedeutet so viel wie: f abgeleitet nach x (oft auch einfach [mm]\bruch{d}{dx} f[/mm]. [mm]df[/mm] heißt Differential. Über die Schreibweise kann man einiges diskutieren, aber stell Dir sowas "ähnliches" wie die Steigung eines "unendlich kleinen" Steigungsdreicks vor:
[mm]\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{d f(x)}{dx}[/mm]
Die Notation mit [mm]dx[/mm] kommt ursprünglich von Leibnitz, das [mm]\partial x[/mm] hat Jacobi eingeführt und für partielle Ableitungen benutzt man in aller Regel das [mm] \partial.
[/mm]
Wenn man die zweite Ableitung nach x haben will kann man sowas wie [mm] \bruch{d^2}{dx^2} [/mm] schreiben.
Achtung: [mm] \partial [/mm] bezeichnet manchmal auch den Rand einer Menge in topologischen Räumen, aber das kann Dir in der Schule ziemlich egal sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sarah288 |
danke für die ausführliche antwort, aber was bedeutet der term
[mm] \bruch{\partial}{\partial*k}
[/mm]
in diesem Fall, ich weiß nicht wie ich die dritte Ableitung (die Karl geschrieben hat) so umwandeln kann, dass ich mit ihr weiter rechnen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Do 21.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Du meinst folgende Zeile?
$ [mm] f^{(3)}(k) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial k}f''(k) [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial k}\left(-f(k) + k^2f(k)\right). [/mm] $
Naja, Du sollst einfach [mm] $\left(-f(k) + k^2f(k)\right)$ [/mm] nach k ableiten. Und Du weisst, dass $ f'(k) = -kf(k) $ ist. Also einfach $ kf(k) - [mm] k^3 [/mm] f(k) + 2k f(k) = 3k f(x) - [mm] k^3 [/mm] f(k)$ wenn ich mich jetzt nicht verrechnet hab.
Diese df/dx-Schreibweise vereinfacht das halt nur, weil sowas wie $(1+f(x))'$ irgendwie hässlicher ist als [mm] $\frac{d}{dx}(1+f(x))$, [/mm] weil man gerne mal das ' übersieht. Könnte ja auch sein, dass die Funktion die Form $f(x,y)$ hat und Du nur nach einer Variablen ableiten willst.
Ich würde Dir empfehlen, das df/dx-Zeugs einfach wieder zu vergessen wenn ihr das in der Schule nicht hattet und die gewohnte Schreibweise zu verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sarah288 |
Danke! Ich habe soweit alles verstanden, nur nicht wie du auf -k³f(k) kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 21.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
frage scheint beantwortet zu sein. 
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Hi, sarah,
> Hallo, ich bin gerade dabei, die Wendestellen der
> Standard-Glockenfunktion zu berechnen. Nun erschließt sich
> mir ein Problem. Die Funktion lautet: 1/wurzel aus
> 2pi*e^(-1/2*k²)
>
> Die erste Ableitung lautet doch : 1/wurzel aus
> 2pi*e^(-1/2*k²)*(-k)
> und die zweite: 1/wurzel aus 2pi*e^(-1/2*k²)*(-1+k²)
>
> wie lautet aber die dritte Ableitung, die ich für die
> Wendestellenberechnung ja benötige???
Also:
(1.) Die 3. Ableitung brauchst Du gar nicht, wenn Du argumentierst, dass k=1 und k=-1 EINFACHE Nullstellen der 2. Ableitung sind und damit automatisch Wendestellen.
(2.) Wenn Du aber nun schon die 3. Ableitung haben möchtest, dann nimm' doch) - analog zur 2. Ableitung - wieder die Produktregel, also:
f'''(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*(e^{-0,5*k^{2}}*(-k)*(k^{2}-1) +e^{-0,5*k^{2}}*2k) [/mm]
f'''(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*e^{-0,5*k^{2}}*(-k^{3} [/mm] + 3k)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 21.09.2006 | | Autor: | Sarah288 |
VIELEN DANK! Endlich kann ich weiterrechnen! Dein Tipp ist sehr sehr brauchbar!!! Dankeschön! Ich wünsche noch einen schönen Abend!
Gruß Sarah
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