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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Sa 07.05.2011 | | Autor: | snoopy89 |
Hallo,
beim Lernen für meine Modulprüfung bin ich auf folgendes Problem gestoßen:
Sei [mm] I(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}. [/mm] Dann ist I'(x)=f(x). Jedoch weiß ich nicht, woher das kommt. Ich brauche dies für den Beweis des Hauptsatzes der Integralrechnung. Daher darf ich den hier nicht verwenden. Kann mir jemand erklären, warum I'(x)=f(x) ist?
Vielen Dank im voraus.
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Moin snoopy,
> Hallo,
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> beim Lernen für meine Modulprüfung bin ich auf folgendes
> Problem gestoßen:
> Sei [mm]I(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}.[/mm] Dann ist I'(x)=f(x).
> Jedoch weiß ich nicht, woher das kommt. Ich brauche dies
> für den Beweis des Hauptsatzes der Integralrechnung. Daher
> darf ich den hier nicht verwenden. Kann mir jemand
> erklären, warum I'(x)=f(x) ist?
> Vielen Dank im voraus.
Tipp: Untersuche den Grenzwert des Differenzenquotienten:
[mm] \lim_{h\to0}\frac{I(x+h)-I(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\integral_x^{x+h}f(t)dt}{h}
[/mm]
Überlege dir nun [mm] $h*m\leq\integral_x^{x+h}f(t)dt\leq [/mm] h*M$, wobei [mm] m:=\min\{f(t), x\leq t\leq x+h\}, M:=\max\{f(t), x\leq t\leq x+h\}
[/mm]
Bringt dich das weiter?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 07.05.2011 | | Autor: | snoopy89 |
Hm, so wirklich hilft mir das nicht. Also ich habe jetzt mit dieser Überlegung herausbekommen, dass m [mm] \le [/mm] I'(x) [mm] \le [/mm] M ist. Wie kann ich jetzt jedoch damit darauf schließen, dass I'(x)=f(x) ist?
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> Hm, so wirklich hilft mir das nicht. Also ich habe jetzt
> mit dieser Überlegung herausbekommen, dass m [mm]\le[/mm] I'(x) [mm]\le[/mm]
> M ist. Wie kann ich jetzt jedoch damit darauf schließen,
> dass I'(x)=f(x) ist?
Was passiert mit m und M (die beide von h abhängen) für [mm] h\to0? [/mm] Dann gilt [mm] \lim_{h\to0}m(h)=\lim_{h\to0}M(h)=f(x)
[/mm]
Mit deiner Ungleichung oben folgt die Behauptung.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Sa 07.05.2011 | | Autor: | snoopy89 |
Ah, ja klar. Vielen Dank für deine schnelle Hilfe :D
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Es ist I(x) = F(x)-F(a) und damit
I'(x) = F'(x)-F'(a) = F'(x) (da a und damit F(a) konstant)=f(x).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Sa 07.05.2011 | | Autor: | snoopy89 |
Aber hierbei würde ich den Hauptsatz der Integralrechnung ja schon benutzen. Jedoch möchte ich diesen ja beweisen und daher darf ich das so leider nicht nehmen.
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Dann müstest du irgendwelche anderen Eigenschaften von I(x) kennen. Folgende zwei "Axiome" reichen völlig aus:
Für jedes Integral gilt:
[mm] m(b-a)\le\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le [/mm] M(b-a) für [mm] m:=min(f(x))|x\in [/mm] [a|b]) und [mm] M:=max(f(x))|x\in [/mm] [a|b])
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}+\integral_{b}^{c}{f(x) dx} [/mm] für alle a,b,c [mm] \in \IR
[/mm]
Damit kannst du nun den Beweis genau so führen, wie Kamaleonti es vorgeschlagen hat.
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