Ableitung der plancks. Strf. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] M^o_{\lambda}(\lambda, [/mm] T) = [mm] \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}
[/mm]
deren Ableitung:
[mm] \frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}}-5 [/mm] |
Um die maximale Wellenlänge der spektralen spezifischen Strahlung eines schwarzen Körpers zu erhalten, muss deren Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] gleich null gesetzt werden. Ich habe allerdings Probleme, die Ableitung nachzuvollziehen, selbst mit Anwendung der inneren und äusseren Ableitung. Könnte mir vielleicht jemand diese Ableitung erklären?
Vielen Dank für Eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mo 19.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}[/mm]
>
> deren Ableitung:
>
> [mm]\frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}}-5[/mm]
>
> Um die maximale Wellenlänge der spektralen spezifischen
> Strahlung eines schwarzen Körpers zu erhalten, muss deren
> Ableitung nach [mm]\lambda[/mm] gleich null gesetzt werden. Ich habe
> allerdings Probleme, die Ableitung nachzuvollziehen, selbst
> mit Anwendung der inneren und äusseren Ableitung. Könnte
> mir vielleicht jemand diese Ableitung erklären?
Was hst du denn gerechnet, vielleicht kannst du das mal posten?
Die Ableitung ist
[mm] \bruch{d}{d\lambda} M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)^2 \left(-\bruch{5}{\lambda} (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1) + \bruch{hc}{\lambda^2kT} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \right)[/mm] .
Nullsetzen und Ausklammern von 0 verschiedener Faktoren ergibt das gesuchte Ergebnis.
Viele Grüße
Rainer
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| Aufgabe | [mm] M^o_{\lambda}(\lambda, [/mm] T) = [mm] \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}
[/mm]
und deren Ableitung nach [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] \frac{hc}{\lambda kT} \cdot \frac{1}{1-e^{- \frac{hc}{\lambda kT}}}-5 [/mm] = 0 |
Danke für die Antwort. Leider habe ich kaum eine Idee, wie ich bei der Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] verfahren soll.
Da nach [mm] \lambda [/mm] abgeleitet wird, hätte ich zunächst [mm] \lambda^-5 [/mm] abgeleitet, was nach meinem dafürhalten -5 lambda^-6 ergibt. Beim zweiten Term habe ich überhaupt keine Ahnung, da ich in meinem Mathematikwissen noch nicht dazu gekommen bin, partiell nach etwas abzuleiten, was in der Potenz steht.
Deshalb würde ich mich sehr darüber freuen, wenn man es mir Schritt für Schritt nachvollziehbar erklären könnte.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 19.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist ja nicht "partiell" nach lambda sondern alles andere sind Konstanten.
was du nur wissen musst ist [mm] (e^x)'=e^x [/mm] mit Kettenregel also [mm] (e^{ax})'=a*e^{ax} (e^{f(x)})'=f'(x)*e^{f(x)}
[/mm]
im übrigen solltest du nur Produkt (oder Quuotienten-) regel und Kettenregel kennen .
Dann probiers mal.
Gruss leduart
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | $ \bruch{d}{d\lambda} M^o_{\lambda}(\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)^2 \left(-\bruch{5}{\lambda} (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1) + \bruch{hc}{\lambda^2kT} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \right) $ |
also ist $\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$ nach $\lambda$ abgeleitet $\bruch{hc}{\lambda^2kT} e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \right)$ indem $(\frac{hc}{\lambda kT})'$ als innere Ableitung $\bruch{hc}{\lambda^2kT}$ ergibt.
Wo der erste Term $\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5}$ und einmal der Term $\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$ herkommt, ist mir über die Kettenregel ersichtlich. Aber wieso ein weiteres Mal $\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$ vorkommt und vor allen Dingen der Term $-\bruch{5}{\lambda} (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)$ ist mir wirklich schleierhaft.
Vielen Dank nochmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 19.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch bitte mal deine Ableitung genau hin. wenn du dich nicht verrechnet hast ist es sicher das Gleiche wie oben. Da wurde ja nur so ausgeklammert, dass das gesuchte sich in der Klammer ergab.
vielleicht mult. du das Ergebnis oben wieder aus, und vergleichst dann mit deiner lösung?
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also: Zuerst spalte ich die Gleichung auf. Zunächst habe ich zwei Brüche, die miteinander multipliziert werden, also wende ich die Produktregel an: $\left(\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5}\right)' \cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)+\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5}\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)'. In der Anwendung muss ich, um den ersten bzw. zweiten Term abzuleiten, jeweils die Quotientenregel anwenden.
So bekomme ich: $\left(\frac{0 \cdot \lambda^5-5\cdot 2\pi h c^2\lambda^4}{\lambda^{10}}\right)\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)+ \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \left(\frac{0\cdot\left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)'-\frac{hc}{\lambda^2 kT} \cdot (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)}{(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)^2\right)$, was sicher nicht dem Ergebnis entspricht.
Danke nochmals für die Hilfe. Allerdings wäre ich euch sehr verbunden, wenn ihr mir ein detaillierte Erklärung geben könntet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Di 20.04.2010 | | Autor: | chrisno |
> Also: Zuerst spalte ich die Gleichung auf. Zunächst habe
> ich zwei Brüche, die miteinander multipliziert werden,
> also wende ich die Produktregel an: [mm]$\left(\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5}\right)' \cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)+\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5}\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)'.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In der Anwendung muss ich, um den ersten bzw. zweiten Term
> abzuleiten, jeweils die Quotientenregel anwenden.
Für den ersten Term hast Du den schnelleren Weg oben selbst angegeben.
[mm]\left(\frac{0 \cdot \lambda^5-5\cdot 2\pi h c^2\lambda^4}{\lambda^{10}}\right)\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right) = \left(\frac{-5\cdot 2\pi h c^2}{\lambda^{6}}\right)\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)[/mm]
Für den zweiten Term machst Du einen neuen Versuch. Unter dem Bruchstrich ist es richtig. Beim ersten Produkt über dem Bruchstrich ist einiges verkehrt. Das solltest Du korrigieren, obwohl es im Ergebnis Null ist. Hinter dem Minuszeichen soll die Ableitung von [mm]e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1[/mm] stehen. Die berechne noch einmal.
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| Aufgabe | | $ [mm] \left(\frac{0 \cdot \lambda^5-5\cdot 2\pi h c^2\lambda^4}{\lambda^{10}}\right)\cdot \left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)+ \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \left(\frac{0\cdot\left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)'-\frac{hc}{\lambda^2 kT} \cdot (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)}{(e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)^2\right) [/mm] $ |
Na wenn ich nach [mm] \lambda [/mm] ableiten soll, bleibt doch nur [mm] $e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}$ [/mm] abzuleiten. Die innere Ableitung ergibt doch [mm] $-\frac{hc}{\lambda^2 kT}}$, [/mm] oder??? Muss ich jetzt bei der äusseren Ableitung die -1 weglassen?? Also ist bis auf [mm] $0\cdot\left(\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\right)'-\frac{hc}{\lambda^2 kT} \cdot (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)$ [/mm] alles richtig?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Di 20.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du verhedderst dich zu sehr
einfacher ist die Produktregel
$ [mm] M^o_{\lambda}(\lambda, [/mm] $ T) = $ [mm] \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}=\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \cdot (e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1)^{-1} [/mm] $
dann kürz ab: [mm] a=2*\pi*h *c^2 b=\frac{hc}{kT}
[/mm]
und du hast:
[mm] $\bruch{a}{\lambda^5}*(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-1}
[/mm]
jetzt ableiten:
[mm] -5*\bruch{a}{\lambda^6}*(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)+\bruch{a}{\lambda^5}*(-1)*(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}*e^{\bruch{b}{\lambda}}*(-1)*\bruch{b}{\lambda^2}
[/mm]
kommst du jetzt mit dem Vereinfachen klar?
Gruss leduart
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| Aufgabe | | $ [mm] -5\cdot{}\bruch{a}{\lambda^6}\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)+\bruch{a}{\lambda^5}\cdot{}(-1)\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}\cdot{}e^{\bruch{b}{\lambda}}\cdot{}(-1)\cdot{}\bruch{b}{\lambda^2} [/mm] $ |
Dann habe ich doch $ [mm] -5\cdot{}\bruch{a}{\lambda^6}\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)+\bruch{a\cdot b}{\lambda^7}\cdot (e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}\cdot{}e^{\bruch{b}{\lambda}}$ [/mm] und könnte dann vielleicht noch [mm] $\bruch{a}{\lambda^6}$ [/mm] und [mm] $(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)$ [/mm] ausklammern und bekäme [mm] $\bruch{a}{\lambda^6}\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)\cdot \left(-5+\bruch{b}{\lambda}\cdot (e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-3} \cdot e^{\bruch{b}{\lambda}}\right)$. [/mm] Und wie komme ich von hier zur angegebenen Lösung??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest nachrechnen, was ich dir vormache, dann hättest du den fehlenden exponenten entdeckt.
nicht
$ [mm] -5\cdot{}\bruch{a}{\lambda^6}\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)+\bruch{a}{\lambda^5}\cdot{}(-1)\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}\cdot{}e^{\bruch{b}{\lambda}}\cdot{}(-1)\cdot{}\bruch{b}{\lambda^2} [/mm] $
sondern
$ [mm] -5\cdot{}\bruch{a}{\lambda^6}\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-1}+\bruch{a}{\lambda^5}\cdot{}(-1)\cdot{}(e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}\cdot{}e^{\bruch{b}{\lambda}}\cdot{}(-1)\cdot{}\bruch{b}{\lambda^2} [/mm] $
jetzt [mm] (e^{\bruch{b}{\lambda}}-1)^{-2}ausklammern [/mm] und [mm] bruch{a}{\lambda^5}
[/mm]
dann hast du in der Klammer das gewünschte stehen, wenn auch nicht genauso, aber mit derselben Nullstelle
Gruss leduart
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