Ableitung der Zielfunktion < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 19.06.2007 | | Autor: | PaulW89 |
| Aufgabe | | Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10cm² erhalten. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck minimalen Umfang hat? |
Hallo allerseits,
ich habe Probleme mit der oben formulierten Extremwertaufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe bereits die ersten drei Schritte aufgeschrieben.
(1)
U = 2a + 2b soll minimiert werden (Extremalbedingung)
(2)
A = 10cm² = a * b
a = 10cm² / b
(3)
U = 2 * (10 / b) + 2b
(4)
Jetzt müsste ich die Ableitung bilden und das Minimum suchen..aber hier weiß ich leider nicht mehr weiter...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Gruß,
Paul 
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Hi, Paul,
> Ein Rechteck soll den Flächeninhalt 10cm² erhalten. Wie
> lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit das Rechteck
> minimalen Umfang hat?
> Habe bereits die ersten drei Schritte aufgeschrieben.
>
> (1) U = 2a + 2b soll minimiert werden
> (Extremalbedingung)
>
> (2) A = 10cm² = a * b
> a = 10cm² / b
übrigens gilt natürlich b>0.
> (3) U = 2 * (10 / b) + 2b
>
> (4) Jetzt müsste ich die Ableitung bilden und das Minimum
> suchen..aber hier weiß ich leider nicht mehr weiter...
Schreib's doch mal so:
U(b) = [mm] 20*b^{-1} [/mm] + 2b
oder wenn Dir's leichter fällt, taufe die Variable b um in x:
U(x) = [mm] 20*x^{-1} [/mm] + 2x
Kannst Du nun U'(x) ausrechnen?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 19.06.2007 | | Autor: | PaulW89 |
Hi Zwerglein,
vielen Dank! Jetzt habe ich verstanden wie das funktioniert!
U'(b) = [mm]-20b^{-2}[/mm] + 2
Ein Freund sagte mir eben, dass die 2 ein "konstanter Faktor" sei, der immer bleibt, auch bei weiteren Ableitungen. Warum ist das so? Muss der nicht auch abgeleitet werden?
Ansonsten erstmal vielen Dank für die Hilfe. :)
Werde mich jetzt an den Rest der Aufgabe machen.
Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 19.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
Ein Summand, wenn auch ein konstanter, ist kein Faktor! Natürlich wird der abgeleitet, verschwindet also in der 2. Ableitung. Du hast also recht.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 19.06.2007 | | Autor: | PaulW89 |
Hi Tobbi,
da bin ich ja beruhigt, dachte schon ich spinne. :-P
Hier nochmal die restlichen Schritte 4 und 5:
(4) Bestimmen der Extrema der Zielfunktion
U(b) = 2 * [mm] \bruch{10}{b} [/mm] + 2b
U'(b) = -20 * [mm] b^{-2} [/mm] + 2
U''(b) = 40 * [mm] b^{-3}
[/mm]
Ich habe jetzt darauf verzichtet, das Nullsetzen hier auszuformulieren.
Als Ergebnis habe ich:
[mm] b_{e} [/mm] = [mm] \wurzel{10}
[/mm]
Irgendwie logisch, hätte man drauf kommen können. 
[mm] b_{e} [/mm] ist nun also eine mögliche Extremstelle von U(b).
Naja, jetzt noch einsetzen in die zweite Ableitung, um auf das hinreichende Kriterium zu überprüfen
[mm] U''(\wurzel{10}) [/mm] = 40 * [mm] \wurzel{10}^{-2} \approx [/mm] 1,265
Das Ergebnis ist positiv, somit haben wir unser Minimum gefunden.
Hoffe das ist alles richtig!
Dank und Gruß,
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mi 20.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
ja, perfekt, alles richtig.
Schöne Grüße
Tobbi
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