Ableitung der Exponentialfunkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Mo 06.07.2009 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion stetig differenzierbar ist, indem Sie zunächst exp'(0) berechnen und dann auf die Ableitung in einem beliebigen Punkt [mm] x\in\mathbb{R} [/mm] schließen.
b) Zeigen Sie, dass die folgende Funktion in 0 stetig differenzierbar ist.
[mm] f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \quad f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases} [/mm] |
zu a)
Die Exponentialfunktion lässt sich als folgende Potenzreihe darstellen:
[mm] $\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots$
[/mm]
Die Ableitung ist definiert als:
[mm] f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
für [mm] x_0=0 [/mm] gilt dann:
[mm] \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^n}{n!}-1}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{n!}-1}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{n!}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n-1}}{n!}
[/mm]
Wenn man sich nun diese Summe aufschreibt sieht man, dass ihr Grenzwert 1 ist:
[mm] \lim_{h\rightarrow0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n-1}}{n!}=\lim_{h\rightarrow0}\left(1+\frac{h}{2}+\frac{h^2}{6}+\dots\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exp'(x)=1
[/mm]
Nun versuchen wir auf die Ableitung in einem beliebigen Punkt zu schliessen:
[mm] \lim_{h\rightarrow0}\frac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\exp(x)\cdot \exp(h)-\exp(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\exp(x)(\exp(h)-1)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\exp(x)\cdot\underbrace{\frac{\exp(h)-1}{h}}_{1}\right)=\exp(x)
[/mm]
Wie erwartet stellt sich heraus, dass die Ableitung der E-Funktion gerade sie selbst ist. Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist auch diese stetig.
zu b)
für [mm] x_0=0:
[/mm]
[mm] \lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{h^2}}-0}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{h^2}}}\cdot\frac{1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{h}}{\frac{1}{e^{\frac{1}{h^2}}}}\right) [/mm] nun L'Hospital anwenden:
[mm] \Rightarrow \lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{h^2}}{{2e^{\frac{1}{h^2}}}\cdot\frac{1}{h^3}}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{2e^{\frac{1}{h^2}}}=\frac{0}{\infty}=0
[/mm]
Was genau bedeutet "stetig differenzierbar"? stetig und differenzierbar? Ich habe (hoffentlich) gezeigt, dass die Funktion in 0 differenzierbar ist aber wie zeige ich nun, dass sie "stetig differenzierbar" ist?
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Hallo!
Ich kann dir keine direkte Lösung nennen, darüber müßte ich selber nochmal nachdenken. Aber ich sehe bei der a) schon Probleme:
Stetig differenzierbar heißt, daß die Funktion stetig ist (keine Sprünge hat) und differenzierbar ist (Keine Knicke hat).
Ersteres heißt, daß [mm] \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=\lim_{h\to 0}f(x_0-h)=f(x_0) [/mm] ist, letzteres, daß rechts- und linksseitige Limes des Differenzenquotienten existieren und gleich sind.
Du stützt deinen Beweis auf die Taylorentwicklung der e-Funktion. ALLERDINGS beruht die Taylor-Entwicklung auf der fortlaufenden Ableitung einer Funktion. Das heißt, daß Differenzierbarkeit bereits zur Angabe einer Taylort-Entwicklung verlangt wird, und dann kannst du nicht von der Tayor-Entwicklung auf die Differenzierbarkeit schließen.
Du könntest auch nach der Differenzierbarkeit der Funktion f(x)=1/x fragen. Es gibt sicher eine Taylorentwicklung im Punkt [mm] x_0=1 [/mm] , aber sie wird am Pol niemals gegen die Funktion konvergieren. f(x) ist bei x=0 weder stetig noch differenzierbar, das Taylorpolynom ist das aber immer, weils ein Polynom ist.
Zum zweiten Teil müßtest du mir noch schlüssig beweisen, daß der Limes des Bruchs ganz rechts tatsächlich 1 ist, denn Zähler und Nenner streben gegen 0.
Über die b) müßte ich auch nochmal drüber schaun.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Di 07.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der erste Beweis ist richtig, da ja wohl fuer euch die e-fkt durch die Reihe gegeben ist. (dass das dann auch die Taylorreihe ist kommt dabei raus.)
stetig differenzierbar heisst dass die Ableitungsfunktion auch noch stetig ist. das musst du also noch beweisen.
Gruss leduart
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> a) Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion stetig
> differenzierbar ist, indem Sie zunächst exp'(0) berechnen
> und dann auf die Ableitung in einem beliebigen Punkt
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] schließen.
>
> b) Zeigen Sie, dass die folgende Funktion in 0 stetig
> differenzierbar ist.
> [mm]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \quad f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & x\not=0 \\ 0 & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> zu a)
> [...]Da jede differenzierbare
> Funktion stetig ist, ist auch diese stetig
Hallo,
rafiniert.
>
> zu b)
> für [mm]x_0=0:[/mm]
>
> [mm]\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{-\frac{1}{h^2}}-0}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{1}{e^{\frac{1}{h^2}}}\cdot\frac{1}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{h}}{\frac{1}{e^{\frac{1}{h^2}}}}\right)[/mm]
> nun L'Hospital anwenden:
> [mm]\Rightarrow \lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{\frac{1}{h^2}}{{2e^{\frac{1}{h^2}}}\cdot\frac{1}{h^3}}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{2e^{\frac{1}{h^2}}}=\frac{0}{\infty}=0[/mm]
>
> Was genau bedeutet "stetig differenzierbar"? stetig und
> differenzierbar?
Wenn sie differenzierbar ist, kann sie ja nicht anders als auch stetig sein.
Stetig diffbar bedeutet, daß die erste Ableitung auch stetig ist.
> Ich habe (hoffentlich) gezeigt, dass die
> Funktion in 0 differenzierbar ist aber wie zeige ich nun,
> dass sie "stetig differenzierbar" ist?
Dazu müßt Ihr wissen, wie die Ableitung außerhalb der Stelle x=0 lautet.
Es ist ja
[mm] f'(x)=\begin{cases} -2x^{-3}e^{-x^{-2}}, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Ihr sollt nun zeigen, daß diese Funktion in 0 stetig ist, daß also [mm] \lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0) [/mm] ist.
Berechnet [mm] \lim_{x\to 0}[-2x^{-3}e^{-x^{-2}}].
[/mm]
(So ähnlich wie bei a), aber mit 2x Hospital.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 08.07.2009 | | Autor: | notinX |
Nur nochmal zum Verständnis:
Ich habe doch schon gezeigt, dass die Funktion in 0 differenzierbar ist (und damit auch stetig). Warum muss ich dann noch den Grenzwert [mm] $\lim_{x\to 0}[-2x^{-3}e^{-x^{-2}}]$ [/mm] bilden?
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> Nur nochmal zum Verständnis:
> Ich habe doch schon gezeigt, dass die Funktion in 0
> differenzierbar ist (und damit auch stetig). Warum muss ich
> dann noch den Grenzwert [mm]\lim_{x\to 0}[-2x^{-3}e^{-x^{-2}}][/mm]
> bilden?
Hallo,
Du sagst selbst völlig richtig, was Du gezeigt hast:
Die Funktion f ist differenzierbar an der Stelle x=0, damit an dieser Stelle auch stetig.
An den anderen Stellen ist sie als Komposition stetiger Funktionen sowieso stetig, also ist f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig.
Ebenfalls als Komposition diffbarer Funktionen ist f an den Stellen [mm] x\not=0 [/mm] diffbar.
Zusammen mit der Diffbarkeit an der Stelle x=0 hast Du, daß f auf ganz [mm] \IR [/mm] diffbar ist.
Gefragt ist nun, ob die Funktion [mm] f\red{'} [/mm] stetig ist im Punkt x=0, an den anderen Stellen ist dies fraglos (Komposition) der Fall.
Es ist
$ [mm] f'(x)=\begin{cases} -2x^{-3}e^{-x^{-2}}, & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}, [/mm] $
daher ist der genannte Grenzwert zu berechnen, also die Frage zu klären: ist bei x=0 der Grenzwert der Funktion gleich dem Funktionswert?
Gruß v. Angela
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