Ableitung (ax+1)^x+1 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 So 23.01.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | Für welche werte [mm]a\in \IR_>_0[/mm] schneidet der Graph der Funktion :
[mm]f:\IR_>_-_1 \rightarrow \IR [/mm] mit [mm] f(x) = (a*x+1)^{x+1}[/mm]
die y-Ache des Koordinatensystems im Winkel 45° ? |
Ich habe mal abgeleitet und bin auf folgende ableitung geommen
Zu erst habe ich umgeformt :
[mm](a*x+1)^{x+1} = e^{ln(a*x+1) * (x+1)} [/mm]
Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
[mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
die äusere ableitung bleibt exp(x) und dann beides multipliziert
[mm] e^{ln(a*x+1) * x+1} * (ln(a*x+1) [/mm]
und wieder rückumgeformt komme ich auf
[mm]f'(x) = (a*x+1)^{x+1} + ((a*x+1)^{x+1} * ln(a*x+1))[/mm]
nun frage ich mich ob dies auch wirklich richtig ist un ob es einen "schnelleren/leichteren" weg gibt auf die ableitung zu kommen ...
Und falls diese ableitung stimmt frage ich mich wie ich dieses monster jetzt so umformen soll dass ich rauskriege für welches a f'(x) = 1 ist ?
gruß noveX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 23.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Novex!
Vorneweg: es gibt m.E. keinen schnelleren Weg zum Ableiten.
> Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
> [mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
Den vorderen Term fasst Du falsch zusammen (bzw. kürzt fälschlicherweise), da Du eine Klammer übersiehst.
Im Zähler steht: [mm] $a*\red{(}x+1\red{)}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 23.01.2011 | | Autor: | novex |
> > Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
> > [mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
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> Den vorderen Term fasst Du falsch zusammen (bzw. kürzt
> fälschlicherweise), da Du eine Klammer übersiehst.
>
> Im Zähler steht: [mm]a*\red{(}x+1\red{)}[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Ohja stimmt...
gut dann komme ich auf :
[mm] (a*x+1)^x * (a*x+a) + (a*x+1)^{(x+1)} * ln(a*x+1)[/mm]
Jedoch habe ich auch hier keinen ansatz wie ich das ganze jetzt nach a auflösen könnte um f'(x) = 1 zu bestimmen :-/
EDIT :-->>> mir ist gerade aufgefallen das das f'(0) = 1 sein muss :)
und man soll bestimmen für welche werte "a" ....aber ich verstehe es trozdem nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 23.01.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHo!
> > > Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
> > > [mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
>
> >
> > Den vorderen Term fasst Du falsch zusammen (bzw. kürzt
> > fälschlicherweise), da Du eine Klammer übersiehst.
> >
> > Im Zähler steht: [mm]a*\red{(}x+1\red{)}[/mm] .
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
>
> Ohja stimmt...
>
> gut dann komme ich auf :
>
> [mm](a*x+1)^x * (a*x+a) + (a*x+1)^{(x+1)} * ln(a*x+1)[/mm]
>
>
> Jedoch habe ich auch hier keinen ansatz wie ich das ganze
> jetzt nach a auflösen könnte um f'(x) = 1 zu bestimmen
> :-/
>
> EDIT :-->>> mir ist gerade aufgefallen das das f'(0) = 1
> sein muss :)
Damit hast du's doch quasi schon gelöst. Setze mal in deiner Ableitung x=0 ein. Dann fliegt eine Menge raus und du hast eine Gleichung in Abhängigkeit von a dastehen, die du dann einfach gleich 1 setzen und nach a umformen musst.
Und beim Ableiten kannst du hier auch einfach die Kettenregel anwenden, weil x>-1 ist und somit der Exponent nicht [mm] \le0 [/mm] wird. Zumindest denke ich das so. Allerdings frage ich mich dann warum Loddar geschrieben hat, dass es keine schneller Lösung gäbe. Kann also sein, dass ich mich irre (deswegen eher vorsicht mit dem letzten Abschnitt  ).
Aber dann würde mich interessieren, warum die Kettenregel nicht geht?
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> und man soll bestimmen für welche werte "a" ....aber ich
> verstehe es trozdem nicht
>
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 23.01.2011 | | Autor: | novex |
> HeyHo!
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> > > > Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
> > > > [mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
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> > >
> > > Den vorderen Term fasst Du falsch zusammen (bzw. kürzt
> > > fälschlicherweise), da Du eine Klammer übersiehst.
> > >
> > > Im Zähler steht: [mm]a*\red{(}x+1\red{)}[/mm] .
> > >
> > >
> > > Gruß
> > > Loddar
> > >
> >
> >
> > Ohja stimmt...
> >
> > gut dann komme ich auf :
> >
> > [mm](a*x+1)^x * (a*x+a) + (a*x+1)^{(x+1)} * ln(a*x+1)[/mm]
> >
> >
> > Jedoch habe ich auch hier keinen ansatz wie ich das ganze
> > jetzt nach a auflösen könnte um f'(x) = 1 zu bestimmen
> > :-/
> >
> > EDIT :-->>> mir ist gerade aufgefallen das das f'(0) = 1
> > sein muss :)
>
> Damit hast du's doch quasi schon gelöst. Setze mal in
> deiner Ableitung x=0 ein. Dann fliegt eine Menge raus und
> du hast eine Gleichung in Abhängigkeit von a dastehen, die
> du dann einfach gleich 1 setzen und nach a umformen musst.
[mm]f'(0) = (a*0+1)^0 * (a*0+a) + (a*0+1)^{(0+1)} * ln(a*0+1)[/mm]
[mm]f'(0) = 1 * a + 1 *0 = a [/mm]
wenn ich nun a = 1 setzte ist die Lösung 1 :-/
setze ich nun 1 für a ein steht da
[mm](x+1)^x * (x+1) + (x+1)^{(x+1)} * ln(x+1)[/mm]
setze ich hier wiederum 0 für x ein steht da
[mm](1)^0 * (1) + (1)^{(1)} * ln(1)[/mm]
un das ist dann wohl
[mm]0 + 0[/mm] und das ist ungleich der 1 wo rauskommen soll :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 So 23.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> > HeyHo!
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> > > > > Dann die innere Ableitung mit der Produktregel erstellt :
> > > > > [mm]\bruch {a}{(a*x+1)} * (x+1) + ln(a*x+1) * 1 = \bruch {a*x+1} {a*x+1} + ln(a*x+1) = ln(a*x+1) +1[/mm]
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> > > >
> > > > Den vorderen Term fasst Du falsch zusammen (bzw. kürzt
> > > > fälschlicherweise), da Du eine Klammer übersiehst.
> > > >
> > > > Im Zähler steht: [mm]a*\red{(}x+1\red{)}[/mm] .
> > > >
> > > >
> > > > Gruß
> > > > Loddar
> > > >
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> > > Ohja stimmt...
> > >
> > > gut dann komme ich auf :
> > >
> > > [mm](a*x+1)^x * (a*x+a) + (a*x+1)^{(x+1)} * ln(a*x+1)[/mm]
> >
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> > >
> > > Jedoch habe ich auch hier keinen ansatz wie ich das ganze
> > > jetzt nach a auflösen könnte um f'(x) = 1 zu bestimmen
> > > :-/
> > >
> > > EDIT :-->>> mir ist gerade aufgefallen das das f'(0) = 1
> > > sein muss :)
> >
> > Damit hast du's doch quasi schon gelöst. Setze mal in
> > deiner Ableitung x=0 ein. Dann fliegt eine Menge raus und
> > du hast eine Gleichung in Abhängigkeit von a dastehen, die
> > du dann einfach gleich 1 setzen und nach a umformen musst.
>
> [mm]f'(0) = (a*0+1)^0 * (a*0+a) + (a*0+1)^{(0+1)} * ln(a*0+1)[/mm]
>
> [mm]f'(0) = 1 * a + 1 *0 = a [/mm]
>
> wenn ich nun a = 1 setzte ist die Lösung 1 :-/
>
>
> setze ich nun 1 für a ein steht da
>
> [mm](x+1)^x * (x+1) + (x+1)^{(x+1)} * ln(x+1)[/mm]
>
>
> setze ich hier wiederum 0 für x ein steht da
>
> [mm](1)^0 * (1) + (1)^{(1)} * ln(1)[/mm]
>
> un das ist dann wohl
>
> [mm]0 + 0[/mm] und das ist ungleich der 1 wo rauskommen soll :-/
Hier muss ich leider widersprechen, denn [mm] 1^0=1. [/mm] Und damit stimmt dann wieder alles.
Du kannst auch schon anfangs so umformen:
[mm](x+1)^x * (x+1) + (x+1)^{(x+1)} * ln(x+1)[/mm] = [mm] (x+1)^{x+1}+(x+1)^{(x+1)} [/mm] * ln(x+1)
Und wenn du dann x=0 setzt hast du:
[mm] (0+1)^{0+1}+(0+1)^{(0+1)} [/mm] * [mm] ln(0+1)=1^1+1^1*ln(1)=1+0=1.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 23.01.2011 | | Autor: | novex |
> Hier muss ich leider widersprechen, denn [mm]1^0=1.[/mm] Und damit
> stimmt dann wieder alles.
> Du kannst auch schon anfangs so umformen:
> [mm](x+1)^x * (x+1) + (x+1)^{(x+1)} * ln(x+1)[/mm] =
> [mm](x+1)^{x+1}+(x+1)^{(x+1)}[/mm] * ln(x+1)
> Und wenn du dann x=0 setzt hast du:
> [mm](0+1)^{0+1}+(0+1)^{(0+1)}[/mm] * [mm]ln(0+1)=1^1+1^1*ln(1)=1+0=1.[/mm]
>
Tatsache ich sitze wohl schon zu lange vorm papier :-D
danke ma für die hilfe
PS: wenn man dann [mm](x+1)^{(x+1)} * (ln(x+1) + 1)[/mm] drauß macht siehts noch schöner aus xD
gruß noveX
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