Ableitung an der Stelle x0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Man Überprüfe anhand der Definition der Differenzierbarkeit , ob die folgende
Funktion f : R [mm]\to[/mm] R an der Stelle x0 = 6 differenzierbar ist:
[mm]f(x)=|3-\bruch{1}{2}x|[/mm] |
Ich habe im Script nachgeschaut da steht.
Die reele Funktion f heisst differenzierbar an der Stelle x0 wenn der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow x0} (\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0})[/mm] exestiert.
So die Frage wie finde ich raus ob er exestiert. Ich habe mal da eingesetzt und bekomme das hier.
[mm]\limes_{n\rightarrow 6} (\bruch{(3-\bruch{1}{2}x)-0}{x-6})[/mm] ist das richtig das man das so einsetzen muss? Wenn ja was jetzt? Soll ich jetzt x ausklammern, und alle entstandenen brüche wo x im nenner steht weg streichen?
Gruß
Janina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Man Überprüfe anhand der Definition der
> Differenzierbarkeit , ob die folgende
> Funktion f : R [mm]\to[/mm] R an der Stelle x0 = 6 differenzierbar
> ist:
>
> [mm]f(x)=|3-\bruch{1}{2}x|[/mm]
>
> Ich habe im Script nachgeschaut da steht.
> Die reele Funktion f heisst differenzierbar an der Stelle
> x0 wenn der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow x0} (\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0})[/mm]
> exestiert.
>
> So die Frage wie finde ich raus ob er exestiert. Ich habe
> mal da eingesetzt und bekomme das hier.
existiert nicht exestiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow 6} (\bruch{(3-\bruch{1}{2}x)-0}{x-6})[/mm]
> ist das richtig das man das so einsetzen muss?
ja!
>Wenn ja was
> jetzt? Soll ich jetzt x ausklammern, und alle entstandenen
> brüche wo x im nenner steht weg streichen?
wenn x gegen 6 geht, fallen doch die brüche mit 6 im Nenner nicht weg? du verwechselst da was mit Folgen, wo n gegen unendlich geht,
Duerreichst nichts mit x ausklammern, aber wenn du im Zähler 1/2 ausklammerst hilft dir das!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Parkan |
Hmm jetzt habe ich im Zähler 1/2 (6-x) und im nenner x-6. Was sagt mir das den jetzt ;D ?
EDIT: Jetzt habe ich mal -1/2 ausgeklammert. Jetzt kann ich den Bruch komplett weg kürzen. Es bleibt -1/2 stehen.
Ist also f'(6)= -1/2 ??
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Hallo Parkan,
> Hmm jetzt habe ich im Zähler 1/2 (6-x) und im nenner x-6.
> Was sagt mir das den jetzt ;D ?
>
Das sagt Dir zunächst, daß Du für [mm]x\not=6[/mm] kürzen kannst.
Lässt Du nun x gegen 6 laufen, so ergibt sich die linksseitige Ableitung.
Berechnet hast Du [mm]\limes_{x \to 6, \ x < 6}\bruch{f\left(x\right)}{x-6}[/mm]
Jetzt benötigst Du noch die rechtsseitige Ableitung:
[mm]\limes_{x \to 6, \ x \blue{>} 6}\bruch{f\left(x\right)}{x-6}[/mm]
Sind links- und rechtsseitige Ableitung an der Stelle 6 gleich,
so ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.
>
> EDIT: Jetzt habe ich mal -1/2 ausgeklammert. Jetzt kann
> ich den Bruch komplett weg kürzen. Es bleibt -1/2 stehen.
>
> Ist also f'(6)= -1/2 ??
Gruss
MathePower
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