matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungAbleitung an der Stelle x
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung an der Stelle x
Ableitung an der Stelle x < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung an der Stelle x: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Aufgabe
Berechnen sie f'(x0) für f mit f(x)=Wurzel(x+2) und x0=4

Ich möchte gerne diese Aufgabe lösen, habe auch schon eine Anfangsgleichung aufgestellt komme allerdings überhaupt nicht weiter!
Hier mal mein erster Ansatz: m(x)=f(x)-f(x0)/(x-x0)
                                                       _


Dann habe ich eingesetz: (Wurzel(x+2))-(Wurzel(4+2))/(x-4)
                                          

Jetzt komme ich nicht weiter! Ich kann das nicht vereinfachen! Im Mathebuch steht als Hilfe die Formel
a-b=(Wurzel(a)-Wurzel(b)) * (Wurzel(a)+Wurzel(b))!




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
            

        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

du bist schon auf dem richtigen Weg - du betrachtest:
[mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{x-x_{0}}$ [/mm]

Und an dieser Stelle wäre eine sogenannte Nulladdition sinnvoll:

[mm] $\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{x-x_{0}}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(x+2)-(x_{0}+2)}$ [/mm]

Dabei wird ja an dem Term nichts verändert, es wird einmal $2$ addiert und dann gleich wieder abgezogen (Minusklammer!)

Jetzt kannst du den Tipp in deinem Mathebuch anwenden:

[mm] $\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(x+2)-(x_{0}+2)}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x_{0}+2})\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2})}$ [/mm]

Kommst du nun allein weiter?

Ansonsten frag bitte nochmal nach oder schreib uns deine Lösung für $f'(4)$. ;-)

MFG,
Yuma

Bezug
        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Danke für den ersten Ansatz! Das habe ich alles verstanden! Als nächstes habe ich gekürzt:  [mm] \underline{ \wurzel{x+2}- \wurzel{ x_{0}+2}} [/mm]  geteilt durch [mm] (\wurzel{x+2}*\wurzel{x_{0}+2})+(\wurzel{x+2}-\wurzel{x_{0}+2}) [/mm]
(Sorry, das das ganze so komisch aussieht aber ich kenne mich noch nicht so ganz mit der Schreibweise hier aus! Also das was hinter geteilt durch steht, steht unter dem Bruchstrich!)
Dann kann man das auf dem Bruchstrich und das "zweite" unter dem  Bruchstrich kürzen, so das dann nur noch 1/ (Wurzel(x+2) +(Wurzel x0+2)) dasteht! Und was mache ich jetzt?

Bezug
                
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

du möchtest ja [mm] $f'(x_{0})$ [/mm] berechnen, und es gilt:

[mm] $f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm]

Diesen Term hast du ja bereits wesentlich vereinfacht, du hattest:

[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x_{0}+2}} [/mm]

Mit dieser Umformung kannst du den Grenzwert ganz einfach bilden - es besteht keine Gefahr mehr ;-) , d.h. wir haben keine [mm] $\bruch{0}{0}$-Situation [/mm] mehr...
Also, was passiert, wenn [mm] $x\to x_{0}$ [/mm] geht?

Wenn du den Grenzwert bildest, hast du eine schöne Formel für [mm] $f'(x_{0})$ [/mm] und brauchst nur noch [mm] $x_{0}=4$ [/mm] einzusetzen. Und, was kommt raus? ;-)

MFG,
Yuma

Bezug
                        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Danke für deine schnelle Antwort! Ich bin bei diesem Thema in Mathe nicht so die Leuchte! Ich check das ganze nicht so ganz! Wenn x [mm] \mapsto x_{0} [/mm] geht geht das dann gegen  [mm] \infty???? [/mm] Ich weiß wirklich nicht wie es jetzt weitergeht!!!

Bezug
                                
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

keine Angst, wenn in dieser Situation [mm] $x\to x_{0}$ [/mm] geht, dann passiert gar nichts Schlimmes (und [mm] $\infty$ [/mm] wäre etwas Schlimmes! ;-) ).

Wenn man einen solchen Grenzwert bestimmen möchte, dann schaut man gewöhnlich erstmal, was passiert, wenn man einfach [mm] $x=x_{0}$ [/mm] "setzt".

Und deshalb haben wir die Umformungen gemacht:
Hätten wir nämlich gleich [mm] $x=x_{0}$ [/mm] "gesetzt", so hätten wir ja
[mm] $f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x_{0})-f(x_{0})}{x_{0}-x_{0}}=\bruch{0}{0}$ [/mm]
gehabt, und das wäre schlecht...

Nach unseren Umformungen (insbesondere deinem Kürzen!) sieht das aber ganz anders aus: "Setz" doch mal [mm] $x=x_{0}$... [/mm] passiert da irgendwas Schlimmes? Nein! ;-) Also, was ist der Grenzwert?

MFG,
Yuma

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Ja soll ich jetzt für x   xo=4 einsetzen? Neee, da kommt ja Quatsch raus! Man, ich steh grad so aufm Schlauch! Danke für deine Tipps aber grad komm ich damit nicht weiter! Haste noch ne Hilfe für mich?

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

setz erstmal für $x$ überall [mm] $x_{0}$ [/mm] ein. Schließlich soll [mm] $x\to x_{0}$ [/mm] gehen, d.h. alle $x$ werden zu [mm] $x_{0}$. [/mm] Du erhältst dann einen Ausdruck, in dem kein $x$ mehr drin vorkommt, sondern nur noch [mm] $x_{0}$. [/mm]

Das ist dann die allgemeine Ableitung [mm] $f'(x_{0})$. [/mm]

Erst ganz am Ende bilden wir $f'(4)$, indem wir [mm] $x_{0}=4$ [/mm] einsetzen.

Frag ruhig nochmal nach, wenn dir etwas unklar ist, ok?
Dafür ist der Matheraum nämlich gedacht... ;-)

MFG,
Yuma

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Ja wenn ich für alle x x0 einsetze dann steht nacher da: 1/ (Wurzel(x+2)+Wurzel(x+2))
Lässt sich das noch vereinfachen????
Wenn ich dann f(4) berechnen möchte setze ich für alle x0 einfach 4 ein! Dann steht da 1/ Wurzel6 + Wurzel 6! Oder 1/ (2*Wurzel 6)!!
Stimmt das jetzt so?



Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

> Ja wenn ich für alle x x0 einsetze dann steht nacher da: 1/
> (Wurzel(x+2)+Wurzel(x+2))

Richtig, wobei das wahrscheinlich immer [mm] $x_{0}$ [/mm] heißen soll, oder?

>  Lässt sich das noch vereinfachen????

siehe unten!

>  Wenn ich dann f(4) berechnen möchte setze ich für alle x0
> einfach 4 ein! Dann steht da 1/ Wurzel6 + Wurzel 6! Oder 1/
> (2*Wurzel 6)!!
>  Stimmt das jetzt so?

Ja, genau das sollte herauskommen! :-)

Damit hast du dir die Frage nach der Vereinfachung schon selbst beantwortet, oder?
Ich sag nur [mm] $\bruch{1}{\sqrt{6}+\sqrt{6}}=\bruch{1}{2\sqrt{6}}$... [/mm]
und ob dort nun 'ne $6$ oder [mm] $x_{0}+2$ [/mm] steht... ;-)

MFG,
Yuma

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mo 13.02.2006
Autor: Lisa_88

Ja ok danke! Dann ist der Grenzwert von m(x) für x-> 4:
[mm] \limes_{x\rightarrow\4} [/mm] m(x) =  [mm] \limes_{x\rightarrow\4} [/mm] 1/(2+Wurzel6) =(ungefähr) 0.204???????

Bezug
                                                                                
Bezug
Ableitung an der Stelle x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mo 13.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Lisa,

der Zahlwert stimmt schon, aber du musst das etwas anders schreiben...

Ich weiß jetzt nicht genau, wie "euer" $m(x)$ definiert ist?!

Ist [mm] $m_{x_{0}}(x)=\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] ?

Dann wäre [mm] $f'(4)=\lim_{x\to 4}m_{4}(x)=\bruch{1}{2\sqrt{6}}$. [/mm]

So etwa... ;-)

MFG,
Yuma

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]