Ableitung, Quotientenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 30.01.2007 | | Autor: | arabella |
| Aufgabe | | Erstelle die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{ (x-1)^2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
immer wieder begegnen mir Aufgaben, bei denen ich Lösungen habe, aber nicht selbst auf die gleiche Lösung komme. So auch die o.g. Aufgabe.
Ich habe es mit der Quotientenregel versucht:
[mm]\bruch{u' *v - u*v'}{v^2}[/mm]
In diesem Fall:
[mm]u= x[/mm]
[mm]v= (x-1)^2[/mm]
[mm]u'= 1[/mm]
[mm]v'=2(x-1)[/mm]
Als ersten Schritt setze ich es also ein:
[mm]\bruch{1 * (x-1)^2 -x (2 (x-1))}{(x-1)^4}[/mm]
Und da kommt schon das Problem, denn in der Lösung zur Aufgabe steht für die erste Ableitung:
[mm]f'(x)= \bruch{x+1}{(x-1)^3}[/mm]
für die zweite Ableitung
[mm]f''(x)=2 \bruch{x+2}{(x-1)^4}[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie ich auf diese Ergebnisse komme?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Di 30.01.2007 | | Autor: | ullim |
> Erstelle die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{x}{ (x-1)^2}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> immer wieder begegnen mir Aufgaben, bei denen ich Lösungen
> habe, aber nicht selbst auf die gleiche Lösung komme. So
> auch die o.g. Aufgabe.
> Ich habe es mit der Quotientenregel versucht:
> [mm]\bruch{u' *v - u*v'}{v^2}[/mm]
>
> In diesem Fall:
> [mm]u= x[/mm]
> [mm]v= (x-1)^2[/mm]
> [mm]u'= 1[/mm]
> [mm]v'=2(x-1)[/mm]
>
> Als ersten Schritt setze ich es also ein:
> [mm]\bruch{1 * (x-1)^2 -x (2 (x-1))}{(x-1)^4}[/mm]
>
> Und da kommt schon das Problem, denn in der Lösung zur
> Aufgabe steht für die erste Ableitung:
> [mm]f'(x)= \bruch{x+1}{(x-1)^3}[/mm]
> für die zweite Ableitung
> [mm]f''(x)=2 \bruch{x+2}{(x-1)^4}[/mm]
Du musst nur Deinen Nenner aus multiplizieren und dann die dritte binomische Formel anwenden, dann bekommst Du das gewünschte Ergebniss.
> Kann mir jemand erklären, wie ich auf diese Ergebnisse
> komme?
>
> Gruss
>
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 30.01.2007 | | Autor: | arabella |
Das mag vielleicht komisch klingen, aber ich habe genau das versucht und dabei kommt eben was anderes heraus. Würde es Dir etwas ausmachen, mir das mal vorzurechnen? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 30.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi arabella,
mein Tipp ist, bloß nicht im Nenner oder Zähler ausmultiplizieren:
du hast (richtig):
[mm] $\bruch{1 \cdot{} (x-1)^2 -x (2 (x-1))}{(x-1)^4} [/mm] $
Im Gegenteil: klammere im Zähler (x-1) aus
[mm] $\bruch{(x-1)((x-1)-x*2)}{(x-1)^4}$
[/mm]
kürze mit dem Nenner und fasse dann den Zähler zusammen.
[mm] =-\bruch{x+1}{(x-1)^3}
[/mm]
Bei deiner angegeben Lösung fehlt ein Minus vor dem Bruch.
[mm] f''(x)=-\bruch{1*(x-1)^3-3(x-1)^2*(x+1)}{(x-1)^6}
[/mm]
im Zähler [mm] (x-1)^2 [/mm] ausklammern und kürzen.
[mm] =-\bruch{(x-1)^2((x-1)-3(x+1))}{(x-1)^6}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x-1-3x-3}{(x-1)^4}
[/mm]
[mm] =-\bruch{-2x-4}{(x-1)^4}
[/mm]
[mm] =2\bruch{x+2}{(x-1)^4}
[/mm]
Der allgemeingültige Tipp beim Ableiten gebrochenrationaler Funktionen ist, dass sich die Potenz des Nenners immer nur um Eins erhöht (wenn man das gekürzte, zusammengefasste Ergebnis sieht). D.h. man kann im Zähler immer so ausklammern, dass man mit dem Nenner kürzen kann. An diesem Beispiel sieht man es ganz schön: ausklammern, kürzen, zusammenfassen, heisst die Devise 
l G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Di 30.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \bruch{(x-1)^2-x(2(x-1))}{(x-1)^4}=\br{x^2-2x+1-2x^2+2x}{(x-1)^4}=\br{-x^2+1}{(x-1)^4}=\br{(1-x)(1+x)}{(1-x)^4}
[/mm]
also
[mm] \bruch{(x-1)^2-x(2(x-1))}{(x-1)^4}=\br{x+1}{(1-x)^3}=-\br{x+1}{(x-1)^3}
[/mm]
D.h. bis aufs Vorzeichen ist die vorgegebene Lösung richtig.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 30.01.2007 | | Autor: | arabella |
Vielen Dank an beide! Jetzt ist der Groschen gefallen!
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