Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fry |
Hey,
habe irgendwie gerade nen Brett vorm Kopf.
Versuche die Ableitung von [mm]f(x)=\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})[/mm] zu berechnen.
Komme aber auf zwei verschiedene Ergebnisse. Könnt ihr mir sagen, wo der Fehler ist?
[mm] $\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{d}{dx}\log(\bruch{1}{\wurzel{1-x}})
[/mm]
[mm] =\wurzel{1-s}*(-\bruch{1}{(\wurzel{1-x})^2})*\bruch{-1}{2\wurzel{1-x}}=\bruch{1}{2\wurzel{1-x}}$
[/mm]
[mm]\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{1}{2}*(1-x)*\bruch{1}{(1-x)^2}=\bruch{1}{2(1-x)}[/mm]
Wo ist der Fehler?
Gruß
Fry
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Hallo Fry,
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> Hey,
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> habe irgendwie gerade nen Brett vorm Kopf.
> Versuche die Ableitung von
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})[/mm] zu berechnen.
> Komme aber auf zwei verschiedene Ergebnisse. Könnt ihr
> mir sagen, wo der Fehler ist?
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> [mm]$\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{d}{dx}\log(\bruch{1}{\wurzel{1-x}})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> [mm]=-\bruch{1}{(\wurzel{1-x})^2}*\bruch{-1}{2\wurzel{1-x}}=\bruch{1}{2\wurzel{1-x}}$[/mm]
Der erste Term stimmt nicht.
Es ist [mm]\ln(1/g(x))'=g(x)\cdot{}\left(1/g(x)\right)'=g(x)\cdot{}\frac{-g'(x)}{g^2(x)}[/mm]
Hier mit [mm]g(x)=\sqrt{1-x}[/mm] und [mm]g'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}[/mm]
Also [mm]\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)\right)=\sqrt{1-x}\cdot{}\frac{-\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{1-x}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-x}[/mm]
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> [mm]\bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}log(\bruch{1}{1-x})]=\bruch{1}{2}*(1-x)*\bruch{1}{(1-x)^2}=\bruch{1}{2(1-x)}[/mm]
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> Wo ist der Fehler?
>
> Gruß
> Fry
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fry |
Merci :D
Jaja, Quadrieren will gelernt sein ;)
LG
Fry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Do 12.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fry!
Noch schneller bist Du, wenn Du zunächst die  Logarithmusgesetze anwendest:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{1}{2}*\log\left(\bruch{1}{1-x}\right) \ = \ \bruch{1}{2}*\left[ \ \log(1)-\log(1-x) \ \right] \ = \ \bruch{1}{2}*\left[ \ 0-\log(1-x) \ \right] \ = \ -\bruch{1}{2}*\log(1-x)[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fry |
Ah, stimmt, vielen Dank :)
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