Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 23.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich habe wiedermal ein Problem... Die Funktion lautet [mm] {(e^{-x}-k)}^2
[/mm]
Ich habe schwierigkeiten bei der Ableitung. Besser gesagt beim zusammenfassen. Ich weiß, dass man erst die äußere Ableitung bilden muss und dann die innere. Das habe ich auch gemacht und es sieht so aus:
[mm] 2*(e^{-x}-k)*-e^{-x}
[/mm]
Nur jetzt habe ich irgendwie das Problem mit dem zusammenfassen. Das ist bestimmt ganz einfach, aber ich komme einfach nicht drauf. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte - Danke.
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Halihalo,
>
> ich habe wiedermal ein Problem... Die Funktion lautet
> [mm]{(e^{-x}-k)}^2[/mm]
> Ich habe schwierigkeiten bei der Ableitung. Besser gesagt
> beim zusammenfassen. Ich weiß, dass man erst die äußere
> Ableitung bilden muss und dann die innere. Das habe ich
> auch gemacht und es sieht so aus:
> [mm]2*(e^{-x}-k)*-e^{-x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur jetzt habe ich irgendwie das Problem mit dem
> zusammenfassen. Das ist bestimmt ganz einfach, aber ich
> komme einfach nicht drauf. Wäre nett, wenn mir jemand
> helfen könnte - Danke.
Naja, was willst du denn da groß zusammenfassen?
Das ist doch schon schön faktorisiert.
Du könntest allenfalls das Vorzeichen von dem hinteren [mm]-e^{-x}[/mm] in die Klammer schaffen und das [mm]e^{-x}[/mm] nach vorne holen, es also schreiben als
[mm]f'(x)=2e^{-x}\cdot{}\left(k-e^{-x}\right)[/mm]
Hiervon kann man doch besser Nullstellen untersuchen als wenn du alles wild ausmultiplizierst.
Immer schön faktorisieren!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | Crashday |
> Du könntest allenfalls das Vorzeichen von dem hinteren
> [mm]-e^{-x}[/mm] in die Klammer schaffen und das [mm]e^{-x}[/mm] nach vorne
> holen, es also schreiben als
>
> [mm]f'(x)=2e^{-x}\cdot{}\left(k-e^{-x}\right)[/mm]
>
> Hiervon kann man doch besser Nullstellen untersuchen als
> wenn du alles wild ausmultiplizierst.
>
> Immer schön faktorisieren!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
>
Da habe ich eine Frage. Warum heißt es denn nun k und nicht mehr - k ?
Und jetzt komme ich nicht wirklich weiter. Ginge es denn auch so mit dem faktorisieren:
f'(x) = [mm] e^{-x} [/mm] (-1-k+2)
Die 1 habe ich anstatt [mm] -e^{-x} [/mm] geschrieben. Und falls nicht, wie gesagt, ich komme dann mit der Ableitung irgendwie nicht weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Du könntest allenfalls das Vorzeichen von dem hinteren
> > [mm]-e^{-x}[/mm] in die Klammer schaffen und das [mm]e^{-x}[/mm] nach vorne
> > holen, es also schreiben als
> >
> > [mm]f'(x)=2e^{-x}\cdot{}\left(k-e^{-x}\right)[/mm]
> >
> > Hiervon kann man doch besser Nullstellen untersuchen als
> > wenn du alles wild ausmultiplizierst.
> >
> > Immer schön faktorisieren!
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> >
>
> Da habe ich eine Frage. Warum heißt es denn nun k und
> nicht mehr - k ?
Du hattest:
> $ f'(x)= [mm] 2\cdot{}(e^{-x}-k)\cdot{}(-e^{-x})$
[/mm]
Ziehst Du das "-" vor [mm] -e^{-x} [/mm] in die Klammer rein, so erhälst Du:
$ f'(x)= [mm] 2\cdot{}(-e^{-x}+k)\cdot{}e^{-x} [/mm] $
> Und jetzt komme ich nicht wirklich weiter. Ginge es denn
> auch so mit dem faktorisieren:
> f'(x) = [mm]e^{-x}[/mm] (-1-k+2)
Das ist Unfug
FRED
>
> Die 1 habe ich anstatt [mm]-e^{-x}[/mm] geschrieben. Und falls
> nicht, wie gesagt, ich komme dann mit der Ableitung
> irgendwie nicht weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 23.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Ah ok jetzt habe ich es verstanden, aber nun weiß ich nicht weiter mit der 2. Ableitung.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ah ok jetzt habe ich es verstanden, aber nun weiß ich
> nicht weiter mit der 2. Ableitung.
Na, die erste Ableitung hat die Form eines Produktes, also nimm die Produktregel her!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 23.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Ich hab das jetzt mal versucht:
f'(x) = [mm] 2e^{-x}*(k-e^{-x})
[/mm]
= [mm] (e^{-x}*2)*(k-e^{-x})
[/mm]
= [mm] (e^{-x}*(-1)*(2))*(k-e^{-x})+2e^{-x}*(-e^{-x}(-1))
[/mm]
= [mm] (-2e^{-x}*k-e^{-x})+(2e^{-x}*(e^{-x})
[/mm]
f"(x)= k
f'''(x)=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab das jetzt mal versucht:
> f'(x) = [mm]2e^{-x}*(k-e^{-x})[/mm]
> = [mm](e^{-x}*2)*(k-e^{-x})[/mm]
> =
> [mm](e^{-x}*(-1)*(2))*(k-e^{-x})+2e^{-x}*(-e^{-x}(-1))[/mm]
> = [mm](-2e^{-x}*k-e^{-x})+(2e^{-x}*(e^{-x})[/mm]
Was hast Du hier gemacht ???? Warum hast Du die 1. Abletung verschlimmbessert ?
> f"(x)= k
Falsch
> f'''(x)=0
Falsch
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 23.09.2010 | | Autor: | Crashday |
ich mache das jetzt mal ganz langsam, weil ich wirklich ganz durcheinander jetzt bin:
Also, die Ableitung von der ersten Funktion lautet:
[mm] 2e^{-x}\cdot{}(k-e^{-x})
[/mm]
Die Produktregel lautet: h=u*v h'=u'v+v'u
u ist mein [mm] 2e^{-x}
[/mm]
v ist mein [mm] (k-e^{-x})
[/mm]
f''(x)= [mm] -2e^{-x}*(k-e^{-x})+2e^{-x}(e^{-x}) [/mm] (Das k fällt ja weg)
Ist das denn bis hier hin nun richtig? Und falls ja, wie fasse ich das denn jetzt zusammen...
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> ich mache das jetzt mal ganz langsam, weil ich wirklich
> ganz durcheinander jetzt bin:
> Also, die Ableitung von der ersten Funktion lautet:
> [mm]2e^{-x}\cdot{}(k-e^{-x})[/mm]
>
> Die Produktregel lautet: h=u*v h'=u'v+v'u
> u ist mein [mm]2e^{-x}[/mm]
> v ist mein [mm](k-e^{-x})[/mm]
>
> f''(x)= [mm]-2e^{-x}*(k-e^{-x})+2e^{-x}(e^{-x})[/mm] (Das k fällt
> ja weg)
Das ist richtig.
> Ist das denn bis hier hin nun richtig? Und falls ja, wie
> fasse ich das denn jetzt zusammen...
>
Zum Beispiel kannst Du diese Ableitung als Produkt schreiben.
Ziehe dabei, aus beiden Summanden, den Faktor [mm]e^{-x}[/mm] heraus.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Crashday |
[mm] -2e^{-x}\cdot{}(k-e^{-x})+2e^{-x}(e^{-x}) [/mm]
Wäre das dann so richtig?:
[mm] e^{-x}(-2k-1)+2*1
[/mm]
[mm] e^{-x}(-2k-1+2)
[/mm]
[mm] e^{-x}(-2k+1)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Crashday!
Deine Umformung stimmt nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du sollst doch [mm]2*e^{-x}[/mm] ausklammern:
[mm]f''(x) \ = \ -\blue{2*e^{-x}}*\left(k-e^{-x}\right)+\blue{2*e^{-x}*e^{-x}[/mm]
[mm]f''(x) \ = \ \blue{2*e^{-x}}*\left[-\blue{1}*\left(k-e^{-x}\right)+\blue{1}*e^{-x}\right][/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Crashday |
$ f''(x) \ = \ [mm] \blue{2\cdot{}e^{-x}}\cdot{}\left[-\blue{1}\cdot{}\left(k-e^{-x}\right)+\blue{1}\cdot{}e^{-x}\right] [/mm] $
Oh, da hab ich nicht genau gelesen. Es tut mir wirklich leid, dass ich so viele Fragen stelle aber das ist wirklich die allererste Aufgabe, die so komplex ist und ich möchte die wirklich Schritt für Schritt machen und dann nicht irgendwas falsch machen.
Ich könnte das dann in der Klammer ja zusammenfassen, also:
[mm] 2e^{-x}(-1(k-e^{-x})+1*e^{-x}
[/mm]
[mm] 2e^{-x}(-k+e^{-x}+e^{-x})
[/mm]
[mm] 2e^{-x}(-k+2e^{-x})
[/mm]
Oder darf man das nicht?
Dann könnte ich ja wieder die Produktregel für die 3. Ableitung machen. Ich hab da nochmal eine Frage:
Bei der ersten Ableitung:
$ f'(x)= [mm] 2\cdot{}(-e^{-x}+k)\cdot{}e^{-x} [/mm] $
Wenn ich das nun 0 setze, fällt ja das [mm] e^{-x} [/mm] weg (für die Rel. Extrema)
Müsste ich das dann einfach so ausrechnen:
0 = 2k ??
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> [mm]f''(x) \ = \ \blue{2\cdot{}e^{-x}}\cdot{}\left[-\blue{1}\cdot{}\left(k-e^{-x}\right)+\blue{1}\cdot{}e^{-x}\right][/mm]
>
> Oh, da hab ich nicht genau gelesen. Es tut mir wirklich
> leid, dass ich so viele Fragen stelle aber das ist wirklich
> die allererste Aufgabe, die so komplex ist und ich möchte
> die wirklich Schritt für Schritt machen und dann nicht
> irgendwas falsch machen.
>
> Ich könnte das dann in der Klammer ja zusammenfassen,
> also:
> [mm]2e^{-x}(-1(k-e^{-x})+1*e^{-x}[/mm]
> [mm]2e^{-x}(-k+e^{-x}+e^{-x})[/mm]
> [mm]2e^{-x}(-k+2e^{-x})[/mm]
> Oder darf man das nicht?
Doch das darf man.
> Dann könnte ich ja wieder die Produktregel für die 3.
> Ableitung machen. Ich hab da nochmal eine Frage:
> Bei der ersten Ableitung:
> [mm]f'(x)= 2\cdot{}(-e^{-x}+k)\cdot{}e^{-x}[/mm]
> Wenn ich das nun
> 0 setze, fällt ja das [mm]e^{-x}[/mm] weg (für die Rel. Extrema)
> Müsste ich das dann einfach so ausrechnen:
> 0 = 2k ??
Nein.
Hier ist dann die Gleichung
[mm]-e^{-x}+k=0[/mm]
zu lösen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Ich habe jetzt mal die 3. Ableitung versucht:
[mm] f''(x)=2e^{-x}(-k+2e^{-x})
[/mm]
[mm] =2e^{-x}(-1)*(-k+2e^{-x})+2e^{-x}(2e^{-x}(-1))
[/mm]
[mm] =-2e^{-x}(-k+2e^{-x})+2e^{-x}(-2e^{-x})
[/mm]
[mm] =2e^{-x}[(-1(k-1)+1(-1)]
[/mm]
[mm] =2e^{-x}(-k+1-1)
[/mm]
[mm] f'''(x)=2e^{-x}(-k)
[/mm]
Ich versteh aber das mit der 1. Ableitung 0 setzen. Warum bleibt denn dort das [mm] e^{-x}? [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe jetzt mal die 3. Ableitung versucht:
> [mm]f''(x)=2e^{-x}(-k+2e^{-x})[/mm]
> [mm]=2e^{-x}(-1)*(-k+2e^{-x})+2e^{-x}(2e^{-x}(-1))[/mm]
> [mm]=-2e^{-x}(-k+2e^{-x})+2e^{-x}(-2e^{-x})[/mm]
> [mm]=2e^{-x}[(-1(k-1)+1(-1)][/mm]
falsch ausgeklammert, die beiden Summanden sind [mm]-\red{2e^{-x}}(\blue{-k+2e^{-x}})[/mm] und [mm]\red{2e^{-x}}(\green{-2e^{-x}})[/mm]
Den gemeinsamen Faktor habe ich rot markiert.
Den ausklammern: [mm]...=\red{2e^{-x}}\cdot{}\left[(-1)(\blue{-k+2e^{-x}})\green{-2e^{-x}}\right][/mm]
Nun nochmal den Klammerausdruck vereinfachen...
> [mm]=2e^{-x}(-k+1-1)[/mm]
> [mm]f'''(x)=2e^{-x}(-k)[/mm]
>
> Ich versteh aber das mit der 1. Ableitung 0 setzen. Warum
> bleibt denn dort das [mm]e^{-x}?[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Ich hab den mal jetzt versucht zu vereinfachen:
$ [mm] ...=\red{2e^{-x}}\cdot{}\left[(-1)(\blue{-k+2e^{-x}})\green{-2e^{-x}}\right] [/mm] $
[mm] 2e^{-x}[k-2e^{-x}-2e^{-x}]
[/mm]
[mm] 2e^{-x}(k-4e^{-x})
[/mm]
Ich hab da aber noch einige Fragen offen zum Ausklammern. Das ist bei mir wirklich die größte Sorge...
1) Also ich hab ja jetzt [mm] 2e^{-x} [/mm] ausgeklammert. Ich versteh aber nicht, warum das [mm] 2e^{-x} [/mm] in [mm] (-k+2e^{-x}) [/mm] nicht weggeht.
2) Das was man ausklammert, kann man sich ja in der Funktion bzw. in einer Gleichung eine unsichtbare 1 denken oder?
3) Und dann nochmal eine Frage zur 1. Ableitung. Warum bleibt denn dort das $ [mm] e^{-x}? [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Ich hab den mal jetzt versucht zu vereinfachen:
>
> [mm]...=\red{2e^{-x}}\cdot{}\left[(-1)(\blue{-k+2e^{-x}})\green{-2e^{-x}}\right][/mm]
> [mm]2e^{-x}[k-2e^{-x}-2e^{-x}][/mm]
> [mm]2e^{-x}(k-4e^{-x})[/mm]
>
> Ich hab da aber noch einige Fragen offen zum Ausklammern.
> Das ist bei mir wirklich die größte Sorge...
> 1) Also ich hab ja jetzt [mm]2e^{-x}[/mm] ausgeklammert. Ich
> versteh aber nicht, warum das [mm]2e^{-x}[/mm] in [mm](-k+2e^{-x})[/mm] nicht
> weggeht.
Wir suchen die Nullstellen der Gleichung
[mm]2*e^{-x}*\left(-k+2*e^{-x}\right)=0[/mm]
Da ein Produkt aus zwei Faktoren 0 ist, wenn
einer der Faktoren 0 ist, wenn entweder
[mm]\left(1\right) \2*e^{-x}=0[/mm]
oder
[mm]\left(2\right) -k+2*e^{-x}=0[/mm]
Null ist. (Satz vom Nullprodukt)
Gleichung (1) wird niemals Null.
Demnach bleibt Gleichung (2) auf Nullstellen zu untersuchen,
d.h. die Gleichung
[mm]-k+2*e^{-x}=0[/mm]
ist zu lösen.
> 2) Das was man ausklammert, kann man sich ja in der
> Funktion bzw. in einer Gleichung eine unsichtbare 1 denken
> oder?
> 3) Und dann nochmal eine Frage zur 1. Ableitung. Warum
> bleibt denn dort das [mm]e^{-x}?[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Crashday |
So, dann habe ich glaube nun meine letzte Frage. Das mit den Nullstellen habe ich jetzt verstanden. Dann wäre es bei der 2. Ableitung
$ [mm] 2e^{-x}(-k+2e^{-x}) [/mm] $
so, dass es einmal [mm] 2e^{-x}wäre [/mm] und [mm] (-k+2e^{-x}). [/mm] Dass erste würde niemals 0 werden und dann müsste ich Nullstellen bei
[mm] -k+2e^{-x}=0 [/mm] untersuchen. Jetzt hab ich aber wieder eine Frage. Wie mache ich dass denn mit dem x? Das x sehe ich nur als Potenz über dem x, wie krieg ich denn das Ding da runter?
|
|
|
| |
|
> So, dann habe ich glaube nun meine letzte Frage. Das mit
> den Nullstellen habe ich jetzt verstanden. Dann wäre es
> bei der 2. Ableitung
> [mm]2e^{-x}(-k+2e^{-x})[/mm]
> so, dass es einmal [mm]2e^{-x}wäre[/mm] und [mm](-k+2e^{-x}).[/mm] Dass
> erste würde niemals 0 werden und dann müsste ich
> Nullstellen bei
> [mm]-k+2e^{-x}=0[/mm] untersuchen. Jetzt hab ich aber wieder eine
> Frage. Wie mache ich dass denn mit dem x? Das x sehe ich
> nur als Potenz über dem x, wie krieg ich denn das Ding da
> runter?
hi,
zuerst solltest [mm] e^x [/mm] auf eine seite der Gleichung bringen.
Was weisst du über die Logarithmusfunktion?? (die könnte dann sehr hilfreich sein, denn was ergibt [mm] ln(e^x) [/mm] ?
lg piccolo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Also mit ln haben wir noch gar nichts gemacht. Wir haben mit dem Logarithmus nur 2 Formeln aufgestellt:
[mm] a^{x}=b
[/mm]
x = [mm] \bruch{log b}{log a}
[/mm]
Dann wäre das jetzt bei der ersten Ableitung so:
[mm] k-e^{-x}=0
[/mm]
[mm] k=e^{-x}
[/mm]
log k = log [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] \bruch{log k}{log e}=-x
[/mm]
Das wäre glaube so, aber wie soll ich denn nun weiter rechnen?
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Also mit ln haben wir noch gar nichts gemacht. Wir haben
> mit dem Logarithmus nur 2 Formeln aufgestellt:
> [mm]a^{x}=b[/mm]
> x = [mm]\bruch{log b}{log a}[/mm]
>
> Dann wäre das jetzt bei der ersten Ableitung so:
> [mm]k-e^{-x}=0[/mm]
> [mm]k=e^{-x}[/mm]
> log k = log [mm]e^{-x}[/mm]
> [mm]\bruch{log k}{log e}=-x[/mm]
Ob Du jetzt mit dem Zehnerlogarithmus (Logarithmus zur Basis 10) oder
dem natürlichen Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, ln) rechnest, ist egal.
Hier ist es aber von Vorteil mit dem natürlichen Logarithmus zu rechnen:
[mm]k=e^{-x}[/mm]
[mm]\Rightarriw \operatorname{ln} \left(k\right)=\operatorname{ln} \left(e^{-x})[/mm]
[mm]\gdw \operatorname{ln} \left(k\right)=\left(-x\right)*\operatorname{ln} \left(e)[/mm]
[mm]\gdw \operatorname{ln} \left(k\right)=\left(-x\right)[/mm]
Und die Lösung ist hier wie oben dieselbe.
Daher gilt:
[mm]\bruch{log \ k}{log \ e}=\bruch{ln \ k}{ln \ e}=\operatorname{ln}\left(k\right)[/mm]
>
> Das wäre glaube so, aber wie soll ich denn nun weiter
> rechnen?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Crashday |
Bei den Wendepunkten wäre das dann genauso oder?
[mm] -k+2e^{-x}=0
[/mm]
[mm] 2e^{-x}=k
[/mm]
ln (e) (-x) = [mm] \bruch{ln(k)}{2}
[/mm]
-x = [mm] \bruch{ln(k)}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Bei den Wendepunkten wäre das dann genauso oder?
> [mm]-k+2e^{-x}=0[/mm]
> [mm]2e^{-x}=k[/mm]
> ln (e) (-x) = [mm]\bruch{ln(k)}{2}[/mm]
> -x = [mm][mm] \bruch{ln(k)}{2}[/mm
[/mm]
Leider nein.
Wird die obige Gleichung logarithmiert (ln), dann steht da:
[mm]\operatorname{ln}\left(2*e^{-x}\right)=\operatorname{ln}\left(k\right)[/mm]
Anwendung der Logarithmengesetze ergibt:
[mm]\operatorname{ln}\left(2)-x=\operatorname{ln}\left(k\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
