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es sei f(u,v):=log(u²+v²) für u²+v²>0, [mm] g_{1}(x,y):=xy [/mm] und [mm] g_{2}(x,y):=\bruch\wurzel{x}{y} [/mm] für x,y>0. Dann existiert
[mm] m(x,y):=f(g_{1}(x,y), g_{2}(x,y))=log(x²y²+\bruch{x}{y²}) [/mm] für x,y>0.
Berechnen Sie die Ableitung von m direkt und mit der Kettenregel.
Mein Anatz:
[mm] \partial_{x}m=\bruch{1}{x²y²+\bruch{x}{y²}}(2xy²+\bruch{1}{y²})
[/mm]
[mm] \partial_{y}m=\bruch{1}{x²y²+\bruch{x}{y²}}(2x²y-\bruch{2x}{y³})
[/mm]
Ist das jetzt direkt oder mit der Kettenregel berechnet? Und wie geht dann der andere Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber nix-blicker
> es sei f(u,v):=log(u²+v²) für u²+v²>0, [mm]g_{1}(x,y):=xy[/mm] und
> [mm]g_{2}(x,y):=\bruch{\wurzel{x}}{y}[/mm] für x,y>0. Dann existiert
> [mm]m(x,y):=f(g_{1}(x,y), g_{2}(x,y))=log(x²y²+\bruch{x}{y²})[/mm]
> für x,y>0.
> Berechnen Sie die Ableitung von m direkt und mit der
> Kettenregel.
>
> Mein Anatz:
>
> [mm]\partial_{x}m=\bruch{1}{x²y²+\bruch{x}{y²}}(2xy²+\bruch{1}{y²})[/mm]
>
> [mm]\partial_{y}m=\bruch{1}{x²y²+\bruch{x}{y²}}(2x²y-\bruch{2x}{y³})[/mm]
Diese Schreibweise ist mir nicht so geläufig! Ob ihr das so macht, weiss ich nicht. Ich kenne eher:
[mm] $\bruch{\partial m}{\partial x}$ [/mm] resp. [mm] $\bruch{\partial m}{\partial y}$
[/mm]
oder auch:
[mm] $m_{.x}$ [/mm] resp. [mm] $m_{.y}$
[/mm]
> Ist das jetzt direkt oder mit der Kettenregel berechnet?
> Und wie geht dann der andere Weg?
Ich denke, du hast ja gerechnet: äussere Ableitung mal innere Ableitung. Somit hast du die Kettenregel angewendet.
Der andere Weg ist mir auch nicht so klar. Vermutlich ist gemeint, die Funktion zunächst umzuformen und dann abzuleiten. Man kommt aber auch dann nicht ganz ohne Kettenregel aus.
Ich meine folgendes:
[mm] $\ln(x^2y^2+\bruch{x}{y^2})=\ln(\bruch{x(xy^4+1)}{y^2})=\ln(x)+\ln(xy^4+1)-2\ln(y)$
[/mm]
Wenn du das nach $x_$ ableitest, bekommst du:
[mm] $\bruch{1}{x}+\bruch{y^4}{xy^4+1}=\bruch{2xy^4+1}{x(xy^4+1)}$
[/mm]
Das sollte das Gleiche sein, wie du erhalten hast! Um das zu verifizieren, müsste man dein Resultat noch etwas vereinfachen:
[mm] $\bruch{1}{x^2y^2+\bruch{x}{y^2}}(2xy^2+\bruch{1}{y^2})=$
[/mm]
[mm] $\bruch{y^2}{x^2y^4+x}*\bruch{2xy^4+1}{y^2})=\bruch{2xy^4+1}{x(xy^4+1)}$
[/mm]
was offenkundig das Gleiche ist wie oben. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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vielen dank für deine schnelle hilfe.
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