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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Karolin |
| Aufgabe | Gegeben ist eine partielle Differentialgleichung:
[mm] 0=\bruch{1}{2}\sigma_{x}^2P^2W_{PP}+\gamma\sigma_{x}\sigma_{C}PCW_{P,C} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\sigma_{C}^2C^2W_{CC}+\alpha_{x}PW_{P}+\alpha_{C}CW_{C}-rW+P.
[/mm]
Durch die Substitution [mm] K=\bruch{P}{C} [/mm] und [mm] F(K)=\bruch{1}{C}W(P,C) [/mm] wird die partielle DGL zu einer gewöhnliche DGL vereinfacht:
[mm] 0=\bruch{1}{2}(\sigma_{x}^2-2\gamme\sigma_{x}\sigma_{C}+\sigma_{C}^2)K^2F'' [/mm] + [mm] (\alpha_{x}-\alpha_{C})KF'-(r-\alpha_C)F+K [/mm] |
Ich versuche dies jetzt nachzuvollziehen. Dabei habe ich eine Frage zu den Ableitungen von F.
Wie bestimme ich F' und F''?
Stimmt [mm] F'=\bruch{dF}{dK}=\bruch{dF}{dC}+\bruch{dF}{dP} [/mm] und F'' analog oder was gibt es hier für eine Regel?
(In der partiellen DGL bedeutet [mm] W_{P}, [/mm] dass W nach P abgeleitet wurde, [mm] W_{C}, [/mm] dass W nach C abgeleitet wurde usw.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Mo 03.08.2009 | | Autor: | wauwau |
die Substitution ist ja anders geschrieben
[mm]W = CF(\bruch{P}{C}) [/mm]
daher (Kettenregel, Produktregel,...)
[mm]W_{P} = CF'(\bruch{P}{C})*\bruch{1}{C}= F'(\bruch{P}{C})
W_{C} = F(\bruch{P}{C})+CF'(\bruch{P}{C}) .(-\bruch{P}{C^2}) = F(\bruch{P}{C})-\bruch{P}{C}F'(\bruch{P}{C})
W_{PP} = F''(\bruch{P}{C}) *\bruch{1}{C}
W_{PC} = F''(\bruch{P}{C}).(-\bruch{P}{C^2}) = -\bruch{P}{C^2}F''(\bruch{P}{C}) [/mm]
usw.....
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Hallo wauwau,
> die Substitution ist ja anders geschrieben
> [mm]W = CF(\bruch{P}{C})[/mm]
>
> daher (Kettenregel, Produktregel,...)
> [mm]W_{P} = CF'(\bruch{P}{C})*\bruch{1}{C}= F'(\bruch{P}{C})
W_{C} = F(\bruch{P}{C})+CF'(\bruch{P}{C}) .(-\bruch{1}{C^2}) = F(\bruch{P}{C})-\bruch{1}{C}F'(\bruch{P}{C})
W_{PP} = F''(\bruch{P}{C}) *\bruch{1}{C}
W_{PC} = F''(\bruch{P}{C}).(-\bruch{1}{C^2}) = -\bruch{1}{C^2}F''(\bruch{P}{C})[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]W_{PC} = F''(\bruch{P}{C}).(-\bruch{\red{P}}{C^2}) = -\bruch{\red{P}}{C^2}F''(\bruch{P}{C})[/mm]
>
> usw.....
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Di 04.08.2009 | | Autor: | Karolin |
Super. Danke! Das hat mir geholfen!!!
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