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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung
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Ableitung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Sa 19.02.2005
Autor: Zander

Hi..

Kann mir jemand eine genaue Erläuterung zu der Ableitung dieser Funktion geben:

[mm] f(x)=(2^{a*x}-2)^2 [/mm]

Danke!..

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
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Ableitung: Eigene Ansätze!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Sa 19.02.2005
Autor: Fabian

Hallo Zander


und herzlich   [Dateianhang nicht öffentlich]

Hast du eigene Ansätze? Ließ dir doch bitte die Forenregeln durch! Wir sind keine Lösungsmaschine und sehen es ganz gerne , wenn du eigene Ansätze hast , die wir dann evtl. korrigieren oder ergänzen können.

Gruß Fabian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Bezug
Ableitung: Tipps
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Sa 19.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Zander!

> Hi..
>  
> Kann mir jemand eine genaue Erläuterung zu der Ableitung
> dieser Funktion geben:
>  
> [mm]f(x)=(2^{a*x}-2)^2[/mm]

Benutze zunächst mal die MBKettenregel (es ist $f(x)=g(h(x))$ mit [m]g(z)=z^2[/m] und [mm] $h(x)=2^{a*x}-2$) [/mm] und lies dir dies [mm] ($\leftarrow$ click it!) durch, um die Ableitung von $2^{a*x}=(2^a)^x$ auszurechnen! Viele Grüße, Marcel [/mm]
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Sa 19.02.2005
Autor: Zander

[mm] f(x)=(2^{a*x}-2)^2 [/mm]

Ok...

habs mit der Kettenregel versucht:


(f'(x)=g'(z)*z')

dann.......:              z=2^(a*x)-2  [mm] \Rightarrow [/mm]  z'=ln(2)*2^(a*x)
                              
                              [mm] g(z)=z^2 \Rightarrow [/mm]  g'(z)=2*z

daraus folgt:          f'(x)= 2*(2^(a*x)-2)*ln(2)*2^(a*x)

                              [mm] \underbrace{--------- }_{=g'(z)} \underbrace{---------}_{=z'} [/mm]            
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Ableitung: noch mal!!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Sa 19.02.2005
Autor: Zander

Habs moch mal mit marcels hilfe gerechnet:

f'(x)=2*(2^(a*x)-2)*ln(2)*2^(a*x)

ist dan richtig?....

Danke
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Ableitung: Nicht ganz!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Sa 19.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Zander!

Fast richtig, aber halt nur "fast" ...

Du hast bei der Ableitung von [mm] $2^{a*x}$ [/mm] den Faktor im Exponenten $a$ nicht berücksichtigt (die innere Ableitung von $z$).

Denn auch schon bei der Ableitung $z'$ mußt Du die MBKettenregel anwenden.

Also - wie muß die Ableitung lauten?


Gruß
Loddar

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Ableitung: ableitung zu (2^(a))^x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Sa 19.02.2005
Autor: Zander

sagen wir mal:

[mm] f(x)=(2^{a})^x [/mm]

dann...                 [mm] $z=2^a$ [/mm]       $z'=0$
                            [mm] $g(z)=z^x$ [/mm]     g'(z)=x*z^(x-1)   nach z abgeleitet

ist das richtig?

Bezug
                                        
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Ableitung: Immer noch falsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Sa 19.02.2005
Autor: Loddar

Hallo Zander!


> [mm]f(x)=(2^{a})^x[/mm]
> dann...
> [mm]z=2^a[/mm]       [mm]z'=0[/mm]
> [mm]g(z)=z^x[/mm]     [mm] $g'(z)=x*z^{(x-1)}$ [/mm]
> nach z abgeleitet

[notok] Nein, das ist falsch! Die MBPotenzregel darfst Du nur für konstante Exponenten (= Hochzahlen) verwenden.


Hier kommt man auf 2 Wegen zum Ziel:


Weg 1

$z \ = \ [mm] 2^{a*x} [/mm] \ = \ [mm] \left(2^a \right)^x$ [/mm]

Der Ausdruck [mm] $2^a$ [/mm] ist konstant und wir können ableiten nach der Regel für Exponentialfunktionen; [mm] $\left( \ b^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(b) [/mm] * [mm] b^x$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$z' \ = \ [mm] \ln\left(2^a \right) [/mm] * [mm] \left(2^a \right)^x$ [/mm]

Nun noch ein MBLogarithmusgesetz anwenden: [mm] $\log_b \left(a^m\right) [/mm] = m * [mm] \log_b(a)$ [/mm]

$z' \ = \ a * [mm] \ln(2) [/mm] * [mm] \left(2^a \right)^x [/mm] \ = \ a * [mm] \ln(2) [/mm] * [mm] 2^{a*x}$ [/mm]



Weg 2

$z \ = \ [mm] 2^{a*x}$ [/mm]

Verkettete Funktion mit $u \ = \ a*x$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $u' \ = \ a$

$v \ = \ [mm] 2^u$ $\Rightarrow$ [/mm]   $v' \ = \ [mm] \ln(2) [/mm] * [mm] 2^u$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]  (mit MBKettenregel)
$z' \ = \ [mm] \underbrace{\ln(2) * 2^u}_{= \ v'} [/mm] * [mm] \underbrace{a}_{= \ u'} [/mm] \ = \ a * [mm] \ln(2) [/mm] * [mm] 2^{a*x}$ [/mm]


Hat's jetzt geklingelt ??


Loddar

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Ableitung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Sa 19.02.2005
Autor: Fabian

Hallo Loddar

Es handelt sich hier ja um die Logarithmische Ableitung.

Ich geh da immer so vor:


[mm] y=2^{ax}-2 [/mm]

[mm] lny=ln2^{ax}-ln2 [/mm]

[mm]lny=ax*ln2-ln2[/mm]

[mm] \bruch{y'}{y}=a*ln2 [/mm]

[mm]y'=a*ln2*y[/mm]

[mm] y'=a*ln2*(2^{ax}-2) [/mm]


Wo liegt bei mir der Fehler? Wir haben ja leicht unterschiedliche Ergebnisse raus!

Gruß Fabian
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Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Sa 19.02.2005
Autor: Kritiker

Hi Persilous!

Ich glaub du hast das Quadrat vergessen!

[mm]f(x)=(2^{a*x}-2)^2[/mm]

gruß Kritiker
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Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Sa 19.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, persilous,



> [mm]y=2^{ax}-2 [/mm]
>  
> [mm]lny=ln2^{ax}-ln2 [/mm]

????????????????????????????????????????????????????????????

[mm] ln(2^{ax}-2) \not= ln(2^{ax}) [/mm] - ln(2) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Und da mach ich's wie der Otti Fischer: Mehr sog' i' net!

mfG!
Zwerglein




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Ableitung: An Zwerglein
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:10 Sa 19.02.2005
Autor: Fabian

Hallo Zwerglein!

Ist mir am Ende auch schon aufgefallen! Da hab ich mal wieder einen Anfängerfehler gemacht!

Gruß Fabian
Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung: Na also!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Sa 19.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, persilous,

da fällt mir aber ein Stein vom Herzen! Mach' sowas ja nicht nochmal!

mfG!
Zwerglein
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