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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] f_{k} [/mm] streng monoton steigend über R sind.
[mm] f_{k}(x) [/mm] =k- [mm] \bruch{4k}{e^{kx}+1} [/mm] |
Hallo!
Um das zeigen zu können, muss ich doch erst einmal die Ableitung berechnen...
[mm] f_{k}(x) [/mm] =k- [mm] \bruch{4k}{e^{kx}+1} [/mm] Hier würde k wegfallen. Jedoch 4k würden 0 Ergeben, womit der ganze Bruch unsinnig wäre...wie kann ich das also ableiten?
Danke schonmal für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Saskia!
Forme hier erst um zu: [mm] $f_k(x) [/mm] \ = \ =k- [mm] \bruch{4k}{e^{k*x}+1} [/mm] \ = \ [mm] k-4k*\left(e^{k*x}+1\right)^{-1}$
[/mm]
Und nun mit der  Kettenregel ableiten.
Gruß
Loddar
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darauf muss man erstmal kommen :). Danke dir, ich versuchs mal ^^
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ist das soweit richtig? kommt mir irgendwie komisch vor...
[mm] k-4k*(e^{kx}+1)^{-1} [/mm] = [mm] 4k*(-1)*(e^{kx}+1)^{-2}*(kxe^{(kx)-1}) [/mm]
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Wäre es klug das noch weiter zusammen zu fassen, wenn man noch die Nullstellen davon berechnen muss?
Etwa so:
[mm] -4k*(e^{kx}+1)^{-2}*(ke^{kx}) [/mm] = [mm] \bruch{-4k*ke^{kx}}{(e^{kx}+1)^{2}}
[/mm]
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Hi,
na klar, zusammenfassen ist immer gut 
Du hast aber noch das [mm] \cdot{}(-1) [/mm] unterschlagen, das du oben noch hattest:
> Wäre es klug das noch weiter zusammen zu fassen, wenn man
> noch die Nullstellen davon berechnen muss?
> Etwa so:
> [mm]-4k\red{\cdot{}(-1)}(e^{kx}+1)^{-2}*(ke^{kx})[/mm] =
> [mm]\bruch{\red{+}4k*ke^{kx}}{(e^{kx}+1)^{2}}[/mm]
[mm] $=\bruch{4k^2e^{kx}}{(e^{kx}+1)^{2}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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ok, nun habe ich die erste Ableitung berechnet. Nun muss ich ja die Nullstellen berechnen um die steigung zu prüfen.
also f´_{k}(x)= [mm] \bruch{4k*ke^{kx}}{(e^{kx}+1)^{2}}=0
[/mm]
[mm] 4k*ke^{kx}=0 \vee (e^{kx}+1)^{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw e^{kx}=-1 \gdw log_{e}-1=kx \gdw [/mm] ln(-1)
Wie berechne ich die Nullstelle von [mm] 4k*ke^{kx}? [/mm] Die Nullstelle von ln(-1) kann doch nicht stimmen, da es nur positive Zahlen gibt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Sa 10.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok, nun habe ich die erste Ableitung berechnet. Nun muss
> ich ja die Nullstellen berechnen um die steigung zu
> prüfen.
> also f´_{k}(x)= [mm]\bruch{4k*ke^{kx}}{(e^{kx}+1)^{2}}=0[/mm]
> [mm]4k*ke^{kx}=0 \vee (e^{kx}+1)^{2}=0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 ist und der Nenner ungleich 0.
Also:
[mm]4k*ke^{kx}=0 \wedge (e^{kx}+1)^{2} \not=0[/mm]
> [mm]\gdw e^{kx}=-1 \gdw log_{e}(-1)=kx \gdw ln(-1)[/mm]
> Wie berechne ich die Nullstelle von [mm]4k*ke^{kx}?[/mm] Die
> Nullstelle von ln(-1) kann doch nicht stimmen, da es nur
> positive Zahlen gibt...
Richtig, so eine reelle Zahl x gibt's nicht. Mal dir doch die e-funktion mal auf, die ist überall größer als 0, hat also keine Nullstelle. Also ist der Nenner auch immer größer als 0. Das ist schon mal gut.
Damit ist auch der Zähler immer ungleich 0. Also hat [mm]f'_{k}(x)[/mm] keine Nullstelle, ist also entweder immer größer als 0, oder immer kleiner als 0. Der Nenner ist größer als 0, dass wissen wir schon. Jetzt musst du dir noch noch überlegen, warum der Zähler auch immer größer als 0 ist, und du hast gezeigt, dass [mm]f_k(x)[/mm] streng monoton steigend ist.
Viele Grüße
Rainer
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
[mm] (kxe^{(kx)-1}) [/mm] 