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Ableiten von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mi 22.02.2006
Autor: barlip

Aufgabe
f(x) = -(4 - [mm] e^x) [/mm] * [mm] e^x [/mm]

Hallo
Ich schaffe es einfach nicht diese Funktion richtig abzuleiten
und die erste Ableitung glecih Null gesetzt nach X hin auszulösen.
danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ableiten von e-Funktionen: zunächst ausmultiplizieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 22.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo barlip,

[willkommenmr] !!


Um Dir diese Ableitung zu vereinfachen (Vermeidung der MBProduktregel), kannst Du den Ausdruck auch zunächst ausmultiplizieren zu:

$f(x) \ = [mm] -\left(4 - e^x\right)*e^x [/mm] \ = \ [mm] -4*e^x [/mm] - [mm] \left[-\left(e^x\right)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] -4*e^x+e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}-4*e^x$ [/mm]


Schaffst Du es nun, die Ableitung zu bilden?


Gruß vom
Roadrunner


PS: Bist Du wirklich schon Mathe-Lehrer? Dann sollte das aber schon machbar sein diese Aufgabe ...


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Bezug
Ableiten von e-Funktionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mi 22.02.2006
Autor: barlip

Hi
Erstmal ich habe nicht gemerkt das ich als Mathe-Lehrer eingetragen bin.
Stimmt natürlich nicht, werde ich gleich mal ändern.
Gut mit der Hilfe habe ich glaube ich die Ableitungen geschaft.
Wusste nur nicht, dass [mm] (e^x)^2 [/mm]  = e^2x   ist.

Habe nur diese Ableitungen herausbekommen:
f(x) = [mm] -4e^x [/mm] + e^2x
f'(x) = [mm] -3e^x [/mm] + 2e^2x
f''(x) = [mm] -2e^x [/mm] + 5e^2x
f''(x) = [mm] -1e^x [/mm] + 11e^2x

aber wenn ich nun f'(x) gleich Null setzte:
0 = [mm] -3e^x [/mm] + 2e^2x

Wie kann ich diese Gleichung nun nach X hin auflösen.
vielen danke für die Hilfe

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Ableiten von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 22.02.2006
Autor: Yuma

Hallo an alle Beteiligten,

ich habe mir die vorherigen Beiträge nicht durchgelesen, antworte also nur auf die letzte Frage:

Die Gleichung [mm] $-3e^x+2(e^x)^{2}=0$ [/mm] löst man durch Substitution, d.h. du setzt einfach [mm] u=e^{x} [/mm] und löst die entstehende quadratische Gleichung in $u$. Anschließend musst du wieder rücksubstituieren, d.h. du musst die Gleichung [mm] $e^{x}=u$ [/mm] nach $x$ auflösen!

Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!

MFG,
Yuma

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Ableiten von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Mi 22.02.2006
Autor: barlip

Gut ich habe es mit der Substitution dann folgendermaßen gelöst:
[mm] 0=-3e^x [/mm] + [mm] 2(e^x)^2 [/mm]
[mm] e^x [/mm] = u

0=-3u + [mm] 2u^2 [/mm]
0=u(-3+2u)                 Xe = 0 <- geht nicht da [mm] e^x [/mm] nicht Null werden kann

3/2=u
[mm] 3/2=e^x [/mm]                            Xe  = 3/2


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Bezug
Ableiten von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 22.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Barlip,

> Gut ich habe es mit der Substitution dann folgendermaßen
> gelöst:
>  [mm]0=-3e^x[/mm] + [mm]2(e^x)^2[/mm]
>  [mm]e^x[/mm] = u
>
> 0=-3u + [mm]2u^2[/mm]
>  0=u(-3+2u)                 Xe = 0 <- geht nicht da [mm]e^x[/mm]
> nicht Null werden kann
>  
> 3/2=u

Das ist bis hierhin im Prinzip richtig - allerdings lautet die erste Ableitung [mm] $f'(x)=-4e^{x}+2(e^{x})^{2}$. [/mm]

>  [mm]3/2=e^x[/mm]                            Xe  = 3/2

Wenn [mm] $u=e^{x}$ [/mm] (und $x>0$), dann (und nur dann) gilt [mm] $x=\ln{u}$ [/mm] (nicht $x=u$).
In deinem Fall wäre die Lösung also [mm] $x=\ln{\left(\bruch{3}{2}\right)}$. [/mm]

MFG,
Yuma

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Ableiten von e-Funktionen: etwas einfacherer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Mi 22.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo barlip, hallo Yuma!


Das funktioniert auch etwas leichter, wenn Du jeweils den Faktor [mm] $e^x$ [/mm] wieder ausklammerst und das Prinzip des Null-Produktes anwendest.


Gruß vom
Roadrunner


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Ableiten von e-Funktionen: hat Barlip doch gemacht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 Mi 22.02.2006
Autor: Yuma

... nur vorher halt mit $u$ bezeichnet... ;-)

MFG,
Yuma

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Ableiten von e-Funktionen: Ableitungen falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Mi 22.02.2006
Autor: Yuma

Hallo nochmal,

sorry, aber deine Ableitungen sind alle falsch... :-(

[mm] $-4e^{x}$ [/mm] ändert sich beim Ableiten nicht: [mm] $(e^{x})'=e^{x}$. [/mm]

Auch der zweite Summand wurde nicht richtig abgeleitet, wahrscheinlich aus demselben Grund...

MFG,
Yuma

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Ableiten von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mi 22.02.2006
Autor: barlip

Hi
Kannst du mir denn mal kurz zeigen wie ich die ableiten muss.
Ich dachte da benutze ich dann die Produktregel um [mm] -4e^x [/mm]
abzuleiten.

Ist der Ansatz denn von  [mm] u=e^x [/mm] richtig ??
danke


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Bezug
Ableiten von e-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:03 Mi 22.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Barlip,

die Substitution ist prinzipiell korrekt - siehe meine obige Antwort...

Die Frage nach den Ableitungen wird ja gerade von fmBjoern beantwortet!

MFG,
Yuma

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Ableiten von e-Funktionen: Ableitungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mi 22.02.2006
Autor: fmBjoern

Hi!

Zuerst zu den Ableitungen:

Die $-4$ vor dem $e$ ist ein konstanter Faktor. Beim Ableiten bleibt dieser Faktor erhalten, die Produktregel kannst du hier nicht benutzen.
Das besondere der $e$-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist. Daher ist [mm] $e^x$ [/mm] abgeleitet wieder [mm] $e^x$. [/mm] Der erste Summand ist also abgeleitet [mm] $-4e^x$, [/mm] beim zweiten Summanden [mm] ($e^{2x}$) [/mm] musst du die Verkettung beachten, d.h. $2x$ muss auch abgeleitet werden (ergibt $2$). Dann ist die Ableitung von [mm] $e^{2x}$ [/mm] genau [mm] $2e^{2x}$. [/mm]
Ich hoffe, dass du meinen Ausführungen folgen konntest... sonst frag einfach!

Jetzt die Substitution:
Richtig ist, dass [mm] $\bruch{3}{2}=u$ [/mm] und dass du das dann in [mm] $e^x=u$ [/mm] einsetzen musst. Allerdings kommt dann nicht [mm] $x=\bruch{3}{2}$ [/mm] raus, sondern [mm] $x=\ln{\bruch{3}{2}}$... [/mm] funktioniert genauso wie [mm] $u=x^2$: [/mm] da ist $|x|$ auch nicht $u$ sondern [mm] $\wurzel{u}$! [/mm]

Mit freundlichen Grüßen
Bjoern

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Bezug
Ableiten von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Mi 22.02.2006
Autor: barlip

OK danke habe ich jetzt soweit verstanden,
aber was hat das mit dem ln aufsich ???
soweit sehr vielen dank

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Bezug
Ableiten von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mi 22.02.2006
Autor: fmBjoern

Der [m]ln[/m] ist der "natürliche Logarithmus". Als natürlichen Logarithmus bezeichnet man einen Logarithmus zur Basis [m]e[/m].
Irgendwann in der 9. oder 10. Klasse nimmt man die Exponentialfunktionen durch, das sind Funktionen des Types [m]f(x)=a^x[/m], wobei a die Basis ist (eine konstante Zahl). [m]e^x[/m] ist eine solche Exponentialfunktion, nur eben zur Basis [m]e[/m] (EULERsche Zahl).
Genau wie bei meinem Wurzelbeispiel musst du die Umkehrfunktion nutzen, um den Ausdruck [m]e^x=u[/m] nach x zu lösen. Genau wie [m]\wurzel{x^2} = |x|[/m] (Beachte: Die Wurzel ist die Umkehrfunktion zu "Hoch Zwei") ist auch [m]\ln{e^x}=x[/m].

Ich hoffe, dass reicht dir als Erklärung ;) , ansonsten einfach melden!

Bjoern

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