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Ableiten von Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableiten von Funktionen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Sa 25.10.2008
Autor: Tim221287

Aufgabe
1.1 a)  [mm] 3x^8+7x^2-3 [/mm]

      b) [mm] \bruch{1}{x+x^2^} [/mm]

      c) [mm] x^3\wurzel{1+x}+x+1 [/mm]

      d) [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x}} [/mm]

Bracuhe für die 4 Teilaufgaben jeweils die erste und zweite Ableitung.
a) hab ich noch hinbekommen mit

f´(x) [mm] 24x^7+14x [/mm]

f´´(x) [mm] 168x^6+14 [/mm]

bei b) hab ich

f´(x)  [mm] \bruch{-1+2x}{2x^2^} [/mm]

f´´(x) [mm] \bruch{12x+1}{2x^2^} [/mm]

und bei c und d hänge ich leider Komplett da meine Mathekenntnisse nach einem guten dreiviertel jahr doch dezent eingerostet sind. Fänds super nett wenn immer einer die Ergebnisse von a und b mit Lösungsweg korrigieren könnte und mir vielleicht nen denkanstoß für c und d geben könnte
        
Bezug
Ableiten von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Sa 25.10.2008
Autor: Adamantin


> 1.1 a)  [mm]3x^8+7x^2-3[/mm]
>  
> b) [mm]\bruch{1}{x+x^2^}[/mm]
>  
> c) [mm]x^3\wurzel{1+x}+x+1[/mm]
>  
> d) [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x}}[/mm]
>  Bracuhe für die 4 Teilaufgaben jeweils die erste und
> zweite Ableitung.
> a) hab ich noch hinbekommen mit
>
> f´(x) [mm]24x^7+14x[/mm]
>  
> f´´(x) [mm]168x^6+14[/mm]

[ok]

>  
> bei b) hab ich
>
> f´(x)  [mm]\bruch{-1+2x}{2x^2^}[/mm]

[notok]

Das kann leider nicht sein, du musst hier entweder die Quotientenregel anwenden oder du nimmst den Ausdruck als hoch -1 und nutzt Kettenregel:

$ [mm] f(x)=(x+x^2)^{-1} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=-1*(x+x^2)^{-2}*(1+2x)=\bruch{-1-2x}{(x+x^2)^2} [/mm] $ Kettenregel
oder
$ [mm] f'(x)=\bruch{0*(x+x^2)-1*(1+2x)}{(x+x^2)^2} [/mm] $ Quotientenregel
>  
> f´´(x) [mm]\bruch{12x+1}{2x^2^}[/mm]

[notok] Dementsprechend dann auch mit Quotientenregel die zweite Ableitung bilden.

>  
> und bei c und d hänge ich leider Komplett da meine
> Mathekenntnisse nach einem guten dreiviertel jahr doch
> dezent eingerostet sind. Fänds super nett wenn immer einer
> die Ergebnisse von a und b mit Lösungsweg korrigieren
> könnte und mir vielleicht nen denkanstoß für c und d geben
> könnte

Bei der c) hast du zwei Möglichkeiten. Die erste, elegantere, ist die Zusammenfassung von [mm] x^3 [/mm] und der Wurzel:
$ [mm] x^3\wurzel{1+x}=\wurzel{x^6+x^7} [/mm] $

Dann kannst du mit der Kettenregel folgendermaßen arbeiten:
$ [mm] (\wurzel{x^6+x^7})'=((x^6+x^7)^{\bruch{1}{2}})'=\bruch{1}{2}*(x^6+x^7)^{-\bruch{1}{2}}*(6x^5+7x^6) [/mm] $

Jetzt kannst du danach noch die anderen Teile von f(x) einzeln ableiten.

Zweite Möglichkeit ist die Produktregel, also:

$ [mm] (x^3\wurzel{1+x})'=3x^2*\wurzel{1+x}+x^3*\bruch{1}{2}*(1+x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $

Für die d) wendest du ebenfalls die Quotientenregel an und leitest die Wurzel wie gesagt einfach nach dem Schema Grad -1 ab, wobei du an die Kettenregel und ergo an die innere Ableitung denken musst:

$ [mm] f'(x)=\bruch{1*\wurzel{1+x}-x*(\wurzel{1+x})'}{(\wurzel{1+x})^2} [/mm] $ Jetzt allgemein geschrieben, ne? Also schau mal, wie du damit weiterkommst
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