Ableiten Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 25.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Ableitung der Umkehrfunktion von
f(x)=arcsin(x) |
Hallo,
bis hierher bin ich gekommen!
[mm] f´(x)=\bruch{1}{cos(arcsin(x))}
[/mm]
aber wie komme ich jetzt auf
[mm] f´(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}
[/mm]
Hat des etwas mit folgedem Zusammehnag zu tun?
[mm] cos(x)^{2}+sin(x)^{2}=1 [/mm] dies könnte man ja nach cos(x) umstellen
wäre dann
[mm] cos(x)=\wurzel{1-sin(x)^{2}}
[/mm]
dann hätte ich folgendes da stehen
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-sin(x)^{2}}(arcsin(x))} [/mm] hmm das sieht auch nicht besser aus^^
hoffe es kann mir jemand helfen
mfg
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Hallo RWBK,
> Ableitung der Umkehrfunktion von
> f(x)=arcsin(x)
> Hallo,
>
> bis hierher bin ich gekommen!
> [mm]f´(x)=\bruch{1}{cos(arcsin(x))}[/mm]
>
> aber wie komme ich jetzt auf
>
> [mm]f´(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-1}}[/mm]
Wieso willst du darauf kommen?
Ist die Ableitung nicht [mm]\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm] ?
> Hat des etwas mit folgedem Zusammehnag zu tun?
>
> [mm]cos(x)^{2}+sin(x)^{2}=1[/mm] dies könnte man ja nach cos(x)
> umstellen
>
> wäre dann
> [mm]cos(x)=\wurzel{1-sin(x)^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") genauer [mm]\pm\sqrt{...}[/mm]
>
> dann hätte ich folgendes da stehen
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-sin(x)^{2}}(arcsin(x))}[/mm] hmm das sieht
> auch nicht besser aus^^
Das Argument ist doch [mm]\arcsin(x)[/mm], also hast du [mm]\frac{1}{\sqrt{1-\left[\sin(\arcsin(x))\right]^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm] und alles ist bestens!
>
> hoffe es kann mir jemand helfen
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
Ergänzung:
Begründe unbedingt, warum hier nur die positive Wurzel [mm]\cos(z)=\red{+}\sqrt{1-\sin^2(z)}[/mm] infrage kommt !
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 25.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hmm,
wie kann ich denn so etwas begründen ??
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Do 25.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Was gilt denn für den Definitionsbereich ?
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Do 25.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Es gilt für [mm] x\varepsilon[-1,1] [/mm] der arcsin.Wie soll mir das jetzt helfen?
mfg
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Moin RWBK,
> Es gilt für [mm]x\varepsilon[-1,1][/mm] der arcsin.Wie soll mir das
> jetzt helfen?
Es ist [mm] \cos [/mm] positiv im Intervall [-1,1].
Daher gilt also $ [mm] cos(x)=\red{+}\wurzel{1-sin(x)^{2}} [/mm] $
>
> mfg
LG
P.S: Der [mm] \arcsin [/mm] hat Wertebereich $ [mm] \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] [/mm] $, siehe schachuzipus Mitteilung.
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Hallo RWBK,
ich würde es so sagen:
Du hast berechnet: [mm]\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\red{\arcsin(x)})}[/mm]
Und der Wertebereich vom [mm] $\red{\arcsin}$ [/mm] ist [mm] $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ [/mm] und auf diesem Intervall ist der Kosinus [mm] $\ge [/mm] 0$
(Wobei man die Ränder, also [mm] $\pm\frac{\pi}{2}$ [/mm] noch rausnehmen muss, damit es echt $>0$ wird und Sinn ergibt)
Daher kommt bei der Umformung nur die positive Wurzel infrage ...
Gruß
schachuzipus
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