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Folgende funktion ist gegebn:
[mm] fk(x)=\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x-k}
[/mm]
soo ich soll davon die ableitungen bilden und den definitionsbereich von fk untersuchen wie untersuche ich diesen??
zu den ableitungen:
muss ich so vorgehen ?
ersteinmal alles auf einen brchstrich bringen? indem ich die (x-1) mit dem Zähler des zweiten Bruchs multipliziere und (x-k) mit dem Zähler des ersten Bruchs multipliziere? sieht es dann so aus ?
[mm] \bruch{1x-k-1x-1}{(x-1)*(x-k)}
[/mm]
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Hallo Peter,
> Folgende funktion ist gegebn:
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> [mm]fk(x)=\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{x-k}[/mm]
> soo ich soll davon die ableitungen bilden und den
> definitionsbereich von fk untersuchen wie untersuche ich
> diesen??
Brüche sind überall dort definiert, wo der Nenner [mm] $\neq [/mm] 0$ ist.
Schaue also, für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] die beiden Nenner 0 werden und nimm diese dann aus dem Definitionsbereich heraus
>
>
> zu den ableitungen:
>
> muss ich so vorgehen ?
> ersteinmal alles auf einen brchstrich bringen?
Das kannst du machen, ich würde aber summandenweise differenzieren, erst den einen Bruch und dann den anderen
> indem ich die (x-1) mit dem Zähler des zweiten Bruchs multipliziere
> und (x-k) mit dem Zähler des ersten Bruchs multipliziere?
> sieht es dann so aus ?
> [mm]\bruch{1x-k-1x-1}{(x-1)*(x-k)}[/mm] ![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]")
Obacht mit den Vorzeichen!
Richtig: [mm] $\frac{x-k-\red{(}x-1\red{)}}{(x-1)(x-k)}=\frac{x-k-x\red{+}1}{(x-1)(x-k)}=\frac{1-k}{(x-1)(x-k)}$
[/mm]
Nun etwa mit der Quotientenregel zubeißen.
Für das o.e. direkte summandenweise Differenzieren kannst du entweder auch die Quotientenregel nehmen oder das Ganze umschreiben:
[mm] $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-k}=(x-1)^{-1}-(x-k)^{-1}$ [/mm] und nun mit der Potenzregel (bzw. Kettenregel) ableiten
LG
schachuzipus
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> [mm]\frac{x-k-\red{(}x-1\red{)}}{(x-1)(x-k)}=\frac{x-k-x\red{+}1}{(x-1)(x-k)}=\frac{1-k}{(x-1)(x-k)}[/mm]
>
> Nun etwa mit der Quotientenregel zubeißen.
>
> Wenn ich hier mit der Quoitentenregel bleite muss ich den nenner mit der kettenregel ableiten oder?
also:
[mm] \bruch{-k*[(x-1)*(x-k)]^2-2[(x-1)*(x-k)]*(1*1-k)*1-k}{[(x-1)*(x-k)]^4}
[/mm]
Ahso noch was wenn ich die funktion jetzt untersuche meine ableitung ist :
[mm] (k-1)*\bruch{2x-1-k}{(2x-1-k)^2}
[/mm]
soo wenn ich für k 0 einsetzte steht dort:
[mm] \bruch{-2x+1}{(2x-1)^2}
[/mm]
kann ich jetzt einfach mit dem Zähler eine Kurvendiskusion machen??
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Hallo nochmal,
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> >
> [mm]\frac{x-k-\red{(}x-1\red{)}}{(x-1)(x-k)}=\frac{x-k-x\red{+}1}{(x-1)(x-k)}=\frac{1-k}{(x-1)(x-k)}[/mm]
> >
> > Nun etwa mit der Quotientenregel zubeißen.
> >
>
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> > Wenn ich hier mit der Quoitentenregel bleite muss ich den
> nenner mit der kettenregel ableiten oder?
> also:
>
> [mm]\bruch{-k*[(x-1)*(x-k)]^2-2[(x-1)*(x-k)]*(1*1-k)*1-k}{[(x-1)*(x-k)]^4}[/mm]
Huch, da ist aber einiges schiefgelaufen
Ich würde den Nenner ausmultiplizieren:
[mm] $f_k(x)=\frac{1-k}{x^2-(k+1)x+k}$
[/mm]
Nun mit QR: [mm] $f_k'(x)=\frac{0\cdot{}(x^2-(k+1)x+k)-\left[(1-k)(2x-(k+1))\right]}{(x^2-(k+1)x+k)^2}=\frac{(k-1)(2x-k-1)}{(x-1)^2(x-k)^2}$
[/mm]
Viel einfacher ist's aber mit meinem anderen Vorschlag des summandenweisen Differenzeirens:
Man kommt direkt auf [mm] $-(x-1)^{-2}-(-(x-k)^{-2})=-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-k)^2}$
[/mm]
>
>
> Ahso noch was wenn ich die funktion jetzt untersuche meine
> ableitung ist :
>
> [mm](k-1)*\bruch{2x-1-k}{(2x-1-k)^2}[/mm]
>
> soo wenn ich für k 0 einsetzte steht dort:
> [mm]\bruch{-2x+1}{(2x-1)^2}[/mm]
>
> kann ich jetzt einfach mit dem Zähler eine Kurvendiskusion
> machen??
Das kommt drauf an, wie die Aufgabenstellung ist. Natürlich kannst du mit dem Zähler eine Kurvendiskussion machen, aber ist sehe nicht, von welchem Nutzen das sein sollte im Hinblick auf die Ausgangsfunktion [mm] $f_k$ [/mm] ...
Üblicherweise macht man auch für die Ausgangsfunktion eine Kurendiskussion und nicht für deren Ableitungsfunktion (oder nur deren Nenner)
LG
schachuzipus
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