Abl. per Differentialquotient < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ [mm] f(x)=\wurzel{2x+2} [/mm] $
x0=1
Bestimme die Ableitung der f(x0) per Differentialquotient |
Ich habe es per Ableitungsregelversucht und per x-Methode, aber dann verzweifel ich dabei, weil ich dann nicht weiterkomme.
Habe die Aufgabe heute in der Matheklausur gestellt bekommen. Deswegen habe ich die Lsg-Ansätze nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo deathstrike,
also das kannste entweder mit der h-Methode oder mit der [mm] x_0-Methode [/mm] verarzten.
Ich mach's mal mit der [mm] x_0-Variante.
[/mm]
Also zu bestimmen ist [mm] $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Bei dir ist [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $f(x)=\sqrt{2x+2}$
[/mm]
Also [mm] $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{2\cdot{}0+2}}{x-0}$ [/mm] ist gesucht
Dazu formen wir das Ding etwas um:
[mm] $\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{2\cdot{}0+2}}{x-0}=\frac{\sqrt{2x+2}-\sqrt{2}}{x}$ [/mm]
Das erweitern wir mit [mm] $\frac{\sqrt{2x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{2}}$, [/mm] um im Zähler die 3te binom. Formel hinzubasteln
[mm] $=\frac{2x+2-2}{x(\sqrt{2x+2}+\sqrt{2})}=\frac{2x}{x(\sqrt{2x+2}+\sqrt{2})}$
[/mm]
Hier x rauskürzen
[mm] $=\frac{2}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{2}}$
[/mm]
Hier kannst du nun den Grenzübergang [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ machen:
[mm] $\frac{2}{\sqrt{2x+2}+\sqrt{2}}\rightarrow\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$
Gruß
schachuzipus
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