Abituraufgabe < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Di 15.09.2009 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | [mm] f_t(x)= \bruch{2x}{t^2+x^2}
[/mm]
a)-Symmetrie
-Asymptoten
-Schnittpunkte x-Achse
-Extrempunkte
b)Zwei Kurven [mm] K_t_1 [/mm] und [mm] K_t_2 [/mm] mit t1<t2 und die Gerade g:x = z (z>0) begrenzen eine Fläche in Feld 1. Berechne den Inhalt A(z).
Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z-->+uenendlich?
Wie groß ist ist A* bei den gezeichneten Kurven?
Für zwei kurven [mm] K_t_1 [/mm] und [mm] K_t_2 [/mm] sei A* = 1. Welche Beziehung besteht dann zwischen t1 und t1 ?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
|
Also ich versuche es mal soweit zu lösen wie ich es kann und hoffe ihr könnt mir korriegieren und weiterhelfen....Danke
Nullstellen: 0 = 2x
x=2 NS(0,0)
Ableitungen und Extrema bekomme ich hin
Bei der Symmetrie und Asymptoten weis ich jedoch nicht wie ich das machen soll....
1.Asymptote: [mm] 0=t^2+x^2 [/mm] / Wurzel
= t + x
x= -t
das ist eine Asymtptote
|
|
| |
|
Hallo!
> Nullstellen: 0 = 2x
> x=2 NS(0,0)
x = 2 ist zwar falsch, aber wahrscheinlich nur ein Tippfehler, den den Schnittpunkt mit der x-Achse (0,0) hast du ja dann richtig angegeben. Ich verweise jedoch darauf, dass wenn du die Nullstelle angeben müsstest, x = 0 hinschreiben müsstest als Ergebnis, und nicht einen Punkt.
> Ableitungen und Extrema bekomme ich hin
Gut 
> Bei der Symmetrie und Asymptoten weis ich jedoch nicht wie
> ich das machen soll....
> 1.Asymptote: [mm]0=t^2+x^2[/mm] / Wurzel
> = t + x
Nanana!!! Du kannst doch nicht aus einer SUMME einfach die Wurzel ziehen! Das ist verboten!
Nur zur Einordnung: Wir untersuchen die Funktion gerade auf senkrechte Asymptoten, weil wir schauen wann der Nenner 0 wird. Du musst die Gleichung folgendermaßen lösen:
$0 = [mm] t^{2} [/mm] + [mm] x^{2}$
[/mm]
[mm] $x^{2} [/mm] = [mm] -t^{2}$
[/mm]
Und jetzt (bzw. auch schon vorher) sieht man, dass diese Gleichung nur für t = 0 (und demzufolge x = 0) erfüllt sein kann! Denn links steht ein Quadrat, das kann nicht negativ werden, und rechts steht für [mm] t\not= [/mm] 0 aber auf jeden Fall was Negatives.
Oder aber du schaust schon bei der Ausgangsgleichung scharf hin und siehst, dass zwei Quadrate, die bekanntlich immer größer gleich 0 sind, zusammenaddiert gleich 0 ergeben sollen. Das geht natürlich nur, wenn bei gerade gleich 0 sind.
Also: Einzige senkrechte Asymptoten-Möglichkeit für t = 0, dann liegt bei x = 0 eine senkrechte Asymptote vor.
So, nun solltest du noch auf waagerechte Asymptoten überprüfen, d.h. untersuche, ob
[mm] \lim_{x\to\infty}f_{t}(x) [/mm] = [mm] c\in\IR
[/mm]
[mm] \lim_{x\to -\infty}f_{t}(x) [/mm] = [mm] d\in\IR
[/mm]
eine konstante Zahl c bzw. d [mm] \in\IR [/mm] ergibt, also nicht unendlich. Wenn das bei irgendeinem der beiden Limites eintrifft, heißt das, dass die Funktion gegen eine bestimmte Gerade strebt, nämlich gerade gegen y = c bzw. y = d. Das sind dann deine waagerechten Asymptoten.
-----
Zur Symmetrie:
Wenn f(-x) = f(x) erfüllt ist, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = -f(x) erfüllt ist, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Ein Beispiel:
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 2
Dann ist
f(-x) = [mm] (-x)^{2} [/mm] + 2 = [mm] x^{2} [/mm] + 2 = f(x),
also ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Dasselbe musst du nun bei deiner Funktion überprüfen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 15.09.2009 | | Autor: | itil |
Z<N --> x Achse = Asymtote
nullstellen:
$ [mm] f_t(x)= \bruch{2x}{t^2+x^2} [/mm] $
[mm] \bruch{2x}{t^2+x^2} [/mm] $ = 0 / [mm] *t^2+x^
[/mm]
2x = 0
x = -2
N(-2|0)
____________
Extremwerte: f'(x) = 0
f'(x) = u/v = (u'v - uv') / v²
f'(x) =[ [mm] (2*(t^2+x^2)) [/mm] - (2x*(2t +2x)) ]/ [mm] (t^2+x^2)²
[/mm]
f'(x) =[ [mm] 2t^2 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - (4tx + [mm] 4x^2)] [/mm] / [mm] (t^2+x^2)²
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{ 2t^2 + 2x^2 -4tx -4x^2}{(t^2+x^2)²}
[/mm]
[mm] \bruch{ 2t^2 + 2x^2 -4tx -4x^2}{(t^2+x^2)²} [/mm] = 0 / [mm] *(t^2+x^2)²
[/mm]
[mm] 2t^2 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] -4tx [mm] -4x^2 [/mm] = 0
[mm] 2t^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] -4tx = 0
hmm oke.. da wirds dann kompliziert..
0 geht auf alle fälle
T: 4,827
X: 2
geht sich knapp aus..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Di 15.09.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, überdenke deine Nullstelle 2x=0 du hast x=-2, somit 2*(-2)=0????
überdenke weitehin deine Ableitung
u(x)=2x
u'(x)=2
[mm] v(x)=t^{2}+x^{2}
[/mm]
v'(x)=2x
[mm] f'(x)=\bruch{2*(t^{2}+x^{2})-2x*2x}{(t^{2}+x^{2})^{2}}=\bruch{2t^{2}-2x^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}
[/mm]
Steffi
|
|
|
|
