Abgeschlossenheit von UVR < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:15 Di 15.05.2007 | | Autor: | Dhana |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie: Sind X und Y vollständig normierte Räume, so ist auch X [mm]\oplus_p[/mm] Y für alle [mm]p \in [0, \infty][/mm] vollständig
b) Betrachten Sie die folgenden Unterräume von [mm]l^1[/mm]:
[mm]U := \{(x_n)_{n \in \IN} \in l^1: x_{2n}=0 \forall n \in \IN\}[/mm]
[mm]V := \{(x_n)_{n \in \IN} \in l^1: x_{2n-1}=nx_{2n} \forall n \in \IN\}[/mm]
Es ist klar, dass U und V abgeschlossen sind. Zeigen Sie, dass aber [mm]U \oplus V[/mm] nicht abgeschlossen in [mm]l^1[/mm] ist.
Hinweis: Zeigen Sie zuerst [mm]d \subset U \oplus V[/mm].
Erinnerung aus der Linaeren Algebra:
Ist Z ein Vektorraum und sind U und V Unterräume von Z, so schreibt man U+V für die lineare Hülle von [mm]U \cup V[/mm] in Z. Gilt [mm]U \cap V = {0}[/mm], so schreibt man [mm]U \oplus V[/mm] statt U+V und spricht von der direkten Summe. In diesem Fall kann jedes Element aus [mm]U \oplus V[/mm] eindeutig als Summe u+v mit [mm]u \in U[/mm] und [mm]v \in V[/mm] dargestellt werden. Aus diesem Grund sind U+V und [mm]U \oplus V[/mm] isomorph und werden oft miteinander identifiziert. Strenggenommen gilt [mm]U \oplis V \subset Z[/mm], aber [mm]U x V \subset Z x Z[/mm].
c) Was halten Sie von folgendem Beweis (?), der dem Gegenbeispiel aus (b) widerspricht?
Seien U und V abgeschlossene Untervektorräume eines Banachraumes Z. Wie in der Vorlesung bewiesen wurde, ist ein Untervektorraum eines Banachraumes genau dann vollständig, wenn er abgeschlossen ist. Also sind U und V vollständig, und wegen (a) ist dann auch [mm]U \oplus_2 V[/mm] vollständig. Da [mm]U \oplus_2 V[/mm] als Vektorraum einfach [mm]U \oplus V[/mm] ist, folgt: [mm]U \oplus V[/mm] ist abgeschlossen in Z. |
Also a habe ich geschafft und auch b indem ich die Folgenfolge (1, 1/2, 1/3, ... 1/n, 0, 0, ...) betrachtet habe, die in d ist, damit auch in [mm]U \oplus V[/mm], deren Grenzwert aber nichtmal in [mm]l^1[/mm] ist, damit keine Vollständigkeit, damit keine Abgeschlossenheit.
Aber für die Aufgabe c weiß ich garnicht weiter :(
Wäre für jeden Tipp äußerst dankbar!
Meine bisher einzige Idee ist, daß wenn man Abgeschlossenheit und Vollständigkeit verknüpft, diese ja nun auch von der Norm abhängig ist. Leider sind die [mm]\oplus_p[/mm] Normen aber alle äquivalent, was auch für die Konvergenzen gilt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> a) Zeigen Sie: Sind X und Y vollständig normierte Räume, so
> ist auch X [mm]\oplus_p[/mm] Y für alle [mm]p \in [0, \infty][/mm]
> vollständig
>
> b) Betrachten Sie die folgenden Unterräume von [mm]l^1[/mm]:
> [mm]U := \{(x_n)_{n \in \IN} \in l^1: x_{2n}=0 \forall n \in \IN\}[/mm]
>
> [mm]V := \{(x_n)_{n \in \IN} \in l^1: x_{2n-1}=nx_{2n} \forall n \in \IN\}[/mm]
>
> Es ist klar, dass U und V abgeschlossen sind. Zeigen Sie,
> dass aber [mm]U \oplus V[/mm] nicht abgeschlossen in [mm]l^1[/mm] ist.
>
> Hinweis: Zeigen Sie zuerst [mm]d \subset U \oplus V[/mm].
>
> Erinnerung aus der Linaeren Algebra:
> Ist Z ein Vektorraum und sind U und V Unterräume von Z, so
> schreibt man U+V für die lineare Hülle von [mm]U \cup V[/mm] in Z.
> Gilt [mm]U \cap V = {0}[/mm], so schreibt man [mm]U \oplus V[/mm] statt U+V
> und spricht von der direkten Summe. In diesem Fall kann
> jedes Element aus [mm]U \oplus V[/mm] eindeutig als Summe u+v mit [mm]u \in U[/mm]
> und [mm]v \in V[/mm] dargestellt werden. Aus diesem Grund sind U+V
> und [mm]U \oplus V[/mm] isomorph und werden oft miteinander
> identifiziert. Strenggenommen gilt [mm]U \oplis V \subset Z[/mm],
> aber [mm]U x V \subset Z x Z[/mm].
>
> c) Was halten Sie von folgendem Beweis (?), der dem
> Gegenbeispiel aus (b) widerspricht?
>
> Seien U und V abgeschlossene Untervektorräume eines
> Banachraumes Z. Wie in der Vorlesung bewiesen wurde, ist
> ein Untervektorraum eines Banachraumes genau dann
> vollständig, wenn er abgeschlossen ist. Also sind U und V
> vollständig, und wegen (a) ist dann auch [mm]U \oplus_2 V[/mm]
> vollständig. Da [mm]U \oplus_2 V[/mm] als Vektorraum einfach [mm]U \oplus V[/mm]
> ist, folgt: [mm]U \oplus V[/mm] ist abgeschlossen in Z.
> Also a habe ich geschafft und auch b indem ich die
> Folgenfolge (1, 1/2, 1/3, ... 1/n, 0, 0, ...) betrachtet
> habe, die in d ist, damit auch in [mm]U \oplus V[/mm], deren
> Grenzwert aber nichtmal in [mm]l^1[/mm] ist, damit keine
> Vollständigkeit, damit keine Abgeschlossenheit.
>
> Aber für die Aufgabe c weiß ich garnicht weiter :(
> Wäre für jeden Tipp äußerst dankbar!
>
> Meine bisher einzige Idee ist, daß wenn man
> Abgeschlossenheit und Vollständigkeit verknüpft, diese ja
> nun auch von der Norm abhängig ist. Leider sind die
> [mm]\oplus_p[/mm] Normen aber alle äquivalent, was auch für die
> Konvergenzen gilt.
ein Hinweis zu c): der ``Beweis'' zeigt zwar, dass $U [mm] \oplus_2 [/mm] V$ vollstaendig ist, jedoch nicht unter der Norm von $Z$, sondern unter irgendeiner anderen Norm auf $U [mm] \oplus [/mm] V$. Und warum diese Normen aequivalent sein sollten ist alles andere als unklar, womit im Allgemeinen $U [mm] \oplus_2 [/mm] V$ eine andere Norm hat als die von $Z$ auf $U [mm] \oplus [/mm] V$ induzierte und man damit nichts ueber die Vollstaendigkeit von $U [mm] \oplus [/mm] V$ unter der von $Z$ induzierten Norm weiss (und damit wuerd man erst wissen, dass $U [mm] \oplus [/mm] V$ abgeschlossen in $Z$ ist).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 17.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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