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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige , dass [mm] O_n [/mm] = [mm] \{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A = I_n \}
[/mm]
abgeschlossen ist in [mm] M_{n \times n } (\IR) [/mm] |
Hallo
Was ich aus ANA 2 weiß: f: V->W stetig <=> [mm] \forall [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] W abgeschlossen gilt [mm] f^{-1} [/mm] (M) abgeschlossen.
Nun dachte ich an eine Abbildung [mm] \phi(A) [/mm] = [mm] A^t [/mm] A = [mm] I_n
[/mm]
[mm] \phi: \IR^{n \times n} [/mm] -> [mm] I_n
[/mm]
[mm] O_n [/mm] = [mm] f^{-1} [/mm] (I)
Kann ich nun I als abgeschlossen sehen, kommt mir selbst komisch vor...
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Was ich aus ANA 2 weiß: f: V->W stetig <=> [mm]\forall[/mm] M
> [mm]\subseteq[/mm] W abgeschlossen gilt [mm]f^{-1}[/mm] (M) abgeschlossen.
>
> Nun dachte ich an eine Abbildung [mm]\phi(A)[/mm] = [mm]A^t[/mm] A = [mm]I_n[/mm]
> [mm]\phi: \IR^{n \times n}[/mm] -> [mm]I_n[/mm]
> [mm]O_n[/mm] = [mm]f^{-1}[/mm] (I)
> Kann ich nun I als abgeschlossen sehen, kommt mir selbst
> komisch vor...
Die Argumentation an sich stimmt, sie ist nur verquer aufgeschrieben.
Die Abbildung
[mm] $\phi\colon\IR^{n\times n}\to\IR^{n\times n},\quad \phi(A)=A^tA$
[/mm]
ist stetig.
[mm] $\{I_n\}$ [/mm] ist eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] $\IR^{n\times n}$.
[/mm]
Also ist [mm] $O_n=\phi^{-1}(\{I_n\})$ [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] $\IR^{n\times n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:10 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ich hätte da noch eine frage dazu.
woher weißt du dass diese abbildung stetig ist, denn da war ich mir selbst unsicher!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:44 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hätte da noch eine frage dazu.
> woher weißt du dass diese abbildung stetig ist, denn da
> war ich mir selbst unsicher!!
wie zeigt man denn Stetigkeit? Bzw. welches Kriterium könnte sich hier
anbieten?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ich denke mit dem Epsilon, delta Kriterium kommt man bei matrizen nicht weit.
Am ehersten denke ich mit:
Für jede Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] x_j \in [/mm] X , [mm] x_j [/mm] -> [mm] x_0 (j->\infty) [/mm] die folge [mm] (f(x_n))_{n \in \IN} [/mm] die eigenschaft hat
dass [mm] lim_{i->\infty} f(x_i) [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
Sei also [mm] (A_n)_{n \in \IN} [/mm] eine folge von Matrizen mit mit [mm] A_k-> [/mm] A [mm] (k->\infty) [/mm] d.h. [mm] \forall [/mm] i,j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] gilt [mm] (a_k)_{ij} [/mm] -> [mm] a_{ij} (i->\infty)
[/mm]
ZuZeigen: [mm] lim_{i->\infty} (A_k)^t A_k= A^t [/mm] A
Ist [mm] A_k^t [/mm] -> [mm] A^t (k->\infty),A_k-> [/mm] A [mm] (k->\infty) =>(A_k)^t A_k-> A^t [/mm] A [mm] (k->\infty)
[/mm]
So würde ich es machen,lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Am ehersten denke ich mit:
> Für jede Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]x_j \in[/mm] X , [mm]x_j[/mm] ->
> [mm]x_0 (j->\infty)[/mm] die folge [mm](f(x_n))_{n \in \IN}[/mm] die
> eigenschaft hat
> dass [mm]lim_{i->\infty} f(x_i)[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]
>
> Sei also [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm] eine folge von Matrizen mit mit
> [mm]A_k->[/mm] A [mm](k->\infty)[/mm] d.h. [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] gilt
> [mm](a_k)_{ij}[/mm] -> [mm]a_{ij} (i->\infty)[/mm]
> ZuZeigen: [mm]lim_{i->\infty} (A_k)^t A_k= A^t[/mm]A
[mm] ($k\to\infty$, [/mm] nicht [mm] $i\to\infty$)
[/mm]
> Ist [mm]A_k^t[/mm] -> [mm]A^t (k->\infty),A_k->[/mm] A [mm](k->\infty) =>(A_k)^t A_k-> A^t[/mm]
> A [mm](k->\infty)[/mm]
Wisst ihr schon, dass Transpositionsabbildung und Multiplikationsabbildung von Matrizen stetig sind? Oder woher erhältst du diese Konvergenzaussagen?
Ich würde [mm] $(A_k)^tA_k\to [/mm] A^tA$ für [mm] $k\to\infty$ [/mm] wie folgt zeigen:
Diese Aussage ist gleichbedeutend mit komponentenweiser Konvergenz, d.h. mit
(*) [mm] $((A_k)^tA_k)_{ij}\to (A^tA)_{ij}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
für alle [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$.
[/mm]
Für Matrizen [mm] $B=(b_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}\in\IR^{n\times n}$ [/mm] gilt
[mm] $(B^tB)_{ij}=\sum_{m=1}^n(B^t)_{im}B_{mj}=\sum_{m=1}^n b_{mi}b_{mj}$.
[/mm]
Also lässt sich (*) ausschreiben zu
[mm] $\sum_{m=1}^n (a_k)_{mi}(a_k)_{mj}\to\sum_{m=1}^n a_{mi}a_{mj}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$.
[/mm]
Das folgt jedoch aus
[mm] $(a_k)_{ij}\to a_{ij}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
für alle [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und den Rechenregeln aus Ana I über Produkte und Summen konvergenter Folgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Danke so ist es sehr sauber aufgeschrieben.
Liebe Grüße,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > Am ehersten denke ich mit:
> > Für jede Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]x_j \in[/mm] X , [mm]x_j[/mm] ->
> > [mm]x_0 (j->\infty)[/mm] die folge [mm](f(x_n))_{n \in \IN}[/mm] die
> > eigenschaft hat
> > dass [mm]lim_{i->\infty} f(x_i)[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]
> >
> > Sei also [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm] eine folge von Matrizen mit mit
> > [mm]A_k->[/mm] A [mm](k->\infty)[/mm] d.h. [mm]\forall[/mm] i,j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] gilt
> > [mm](a_k)_{ij}[/mm] -> [mm]a_{ij} (i->\infty)[/mm]
> > ZuZeigen:
> [mm]lim_{i->\infty} (A_k)^t A_k= A^t[/mm]A
> ([mm]k\to\infty[/mm], nicht [mm]i\to\infty[/mm])
>
> > Ist [mm]A_k^t[/mm] -> [mm]A^t (k->\infty),A_k->[/mm] A [mm](k->\infty) =>(A_k)^t A_k-> A^t[/mm]
> > A [mm](k->\infty)[/mm]
> Wisst ihr schon, dass Transpositionsabbildung und
> Multiplikationsabbildung von Matrizen stetig sind? Oder
> woher erhältst du diese Konvergenzaussagen?
>
>
> Ich würde [mm](A_k)^tA_k\to A^tA[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] wie folgt
> zeigen:
>
> Diese Aussage ist gleichbedeutend mit komponentenweiser
> Konvergenz, d.h. mit
>
> (*) [mm]((A_k)^tA_k)_{ij}\to (A^tA)_{ij}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
>
> für alle [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}[/mm].
>
> Für Matrizen
> [mm]B=(b_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}\in\IR^{n\times n}[/mm] gilt
>
> [mm](B^tB)_{ij}=\sum_{m=1}^n(B^t)_{im}B_{mj}=\sum_{m=1}^n b_{mi}b_{mj}[/mm].
>
> Also lässt sich (*) ausschreiben zu
>
> [mm]\sum_{m=1}^n (a_k)_{mi}(a_k)_{mj}\to\sum_{m=1}^n a_{mi}a_{mj}[/mm]
> für [mm]k\to\infty[/mm].
>
> Das folgt jedoch aus
>
> [mm](a_k)_{ij}\to a_{ij}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
>
> für alle [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und den Rechenregeln aus Ana
> I über Produkte und Summen konvergenter Folgen.
im Prinzip hatte Sissile das auch alles schonmal gehört:
Das ist doch in fast vollkommener Analogie zu dem, was Sissile und ich
hier (klick!)
mal durchgekaut hatten! (Bzw. Du hast die Schritte ergänzt, die ich dort
von Sissile gerne vorgerechnet gehabt hätte!)
P.S. Du kannst nichts dafür, mir geht's nur drum, dass Sissile auch lernt,
Parallelen zu erkennen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:40 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Zeige , dass [mm]O_n[/mm] = [mm]\{ A \in M_{n \times n } (\IR) : A^t A = I_n \}[/mm]
>
> abgeschlossen ist in [mm]M_{n \times n } (\IR)[/mm]
ich frage mich, was Dich damals
an dieser Lösung
gestört hat?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Gar nichts, aber meine Mitsudenten haben mir gesagt man könnte es auch so in der Art lösen und das habe ich nicht ganz verstanden.
LG
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