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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | [mm] X\subset \IR [/mm] genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Punkten in X selbst zu X gehört. |
Ich gebe Nachhilfe in Analysis I. Und bereite mich gerade vor, bei dem Beweis ist bei mir eine Frage aufgetaucht, die wahrscehinlich einfach zu beantworten ist.
=>
X [mm] \subset \IR [/mm] abgeschlossen <=> [mm] X^c [/mm] offen
[mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] sei eine Folge in X mit [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 (n->\infty)
[/mm]
Ang [mm] x_0 \in X^c. [/mm] Dann [mm] \exists \epsilon [/mm] so dass [mm] B_{\epsilon} (x_0) \subseteq X^c.
[/mm]
Wieso folgt daraus schon [mm] x_n [/mm] kann nicht gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 06.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du genauer sagen, was dir nicht einleuchtet, ich nehme an, dass [mm] X^C [/mm] das Komplement von X in R ist? dann ist doch klar, dass in einer offenen Menge um jeden Punkt eine Umgebung existiert die ganz in der Menge liegt, und also nicht in X
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
Jap, das ist mir klar.
Meinst du das so:
[mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] ist eine Folge in X
Wenn der Grenzwert [mm] x_0 [/mm] in [mm] X^c [/mm] liegt, ist wegen der offenheit ein ganzer [mm] \epsilon [/mm] Ball um [mm] x_0 [/mm] in [mm] X^c
[/mm]
Das ist ein widerspruch dazu dass alle Folgenglieder in X liegen.
Oder meinst du das anders?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 06.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Jap, das ist mir klar.
> Meinst du das so:
> [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] ist eine Folge in X
> Wenn der Grenzwert [mm]x_0[/mm] in [mm]X^c[/mm] liegt, ist wegen der
> offenheit ein ganzer [mm]\epsilon[/mm] Ball um [mm]x_0[/mm] in [mm]X^c[/mm]
> Das ist ein widerspruch dazu dass alle Folgenglieder in X
> liegen.
> Oder meinst du das anders?
Wenn [mm] (x_n) [/mm] gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, so liegen fast alle [mm] x_n [/mm] im [mm]\epsilon[/mm] Ball um [mm]x_0[/mm], also nicht in X.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 06.02.2013 | | Autor: | sissile |
Genau danke.
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