Abgeschlossenheit, Grenzwert < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige dess [mm] X\subset [/mm] R genau dann abgesclossen ist, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Punkten in X selber zu X gehört. |
=>
Sei X [mm] \in \IR [/mm] abgeschlossen, dann ist [mm] X^c [/mm] offen.
Sei [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge in X mit [mm] lim_{n->\infty} x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] .
Angenommen [mm] x_0 \in X^C. [/mm] Dann [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] sodass [mm] B_\epsilon [/mm] (x) [mm] \subset X^C [/mm]
Ich komme beziehungsweise sehe den Widerspruch in meinen Beweis nicht.
<=
Angenommen X nicht abgeschlossen, dann [mm] X^c [/mm] abgeschlossen.
[mm] \exists x_0 \in X^c [/mm] : [mm] \forall \epsilon>0 B_\epsilon (x_0) \cap [/mm] X [mm] \not= \{ \}
[/mm]
Da komme ich nun leider auch nicht weiter ;(
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Hiho,
> Angenommen [mm]x_0 \in X^C.[/mm] Dann [mm]\exists \epsilon>0[/mm] sodass [mm]B_\epsilon[/mm] (x) [mm]\subset X^C[/mm]
Wo kommen denn nun deine Folgenglieder [mm] x_n [/mm] her?
Kann nun irgendein Folgeglied in [mm] B_\epsilon [/mm] liegen?
Kann x also Grenzwert von [mm] x_n [/mm] sein?
> Angenommen X nicht abgeschlossen, dann [mm]X^c[/mm] abgeschlossen.
Nein. Nimm mal beispielsweise $X=[0,1)$, ist [mm] X^c [/mm] abgeschlossen?
MFG,
Gono.
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Hiho
> Wo kommen denn nun deine Folgenglieder $ [mm] x_n [/mm] $ her?
[mm] x_n \in [/mm] X
> Kann nun irgendein Folgeglied in $ [mm] B_\epsilon [/mm] $ liegen?
Nein.
> Kann x also Grenzwert von $ [mm] x_n [/mm] $ sein?
Nein [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] | > [mm] \epsilon, [/mm] => [mm] x_n [/mm] konv nicht gegen [mm] x_0
[/mm]
Wid.
<=
Angenommen X nicht abgeschlossen, dann [mm] X^c [/mm] nicht offen
So passts oder?
nicht offen bedeutet :$ [mm] \exists x_0 \in X^c [/mm] $ : $ [mm] \forall \epsilon>0 B_\epsilon (x_0) \cap [/mm] $ X $ [mm] \not= \{ \} [/mm] $
Nun ist aber [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] | < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und für ein [mm] x_n \in [/mm] X
Also habe ich eine konvergente Teilfolge [mm] x_n [/mm] gefunden, deren Grenzwert in X liegt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> > Wo kommen denn nun deine Folgenglieder [mm]x_n[/mm] her?
> [mm]x_n \in[/mm] X
> > Kann nun irgendein Folgeglied in [mm]B_\epsilon[/mm] liegen?
> Nein.
> > Kann x also Grenzwert von [mm]x_n[/mm] sein?
> Nein [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_0[/mm] | > [mm]\epsilon[/mm],
[mm] $\ge$, [/mm] nicht $>$. Die Aussage gilt FÜR ALLE [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
> => [mm]x_n[/mm] konv nicht gegen [mm]x_0[/mm]
> Wid.
Schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> <=
> Angenommen X nicht abgeschlossen, dann [mm]X^c[/mm] nicht offen
> So passts oder?
Genau!
> nicht offen bedeutet :[mm] \exists x_0 \in X^c[/mm] : [mm]\forall \epsilon>0 B_\epsilon (x_0) \cap[/mm]
> X [mm]\not= \{ \}[/mm]
Ja.
> Nun ist aber [mm]|x_n[/mm] - [mm]x_0[/mm] | < [mm]\epsilon \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] und für ein [mm]x_n \in[/mm] X
Die Konstruktion passt noch nicht ganz. Welche Zahl meinst du hier mit [mm] $\epsilon$? $\epsilon=5$? $\epsilon=\bruch1{100000000}$? [/mm] Nimm verschiedene [mm] $\epsilon$ [/mm] zur Konstruktion von [mm] $x_n$ [/mm] für verschiedene $n$. Z.B. (Das vernünftige Ausschreiben überlasse ich dir.):
[mm] $\epsilon=1$ [/mm] zur Konstruktion von [mm] $x_1$
[/mm]
[mm] $\epsilon=\bruch12$ [/mm] zur Konstruktion von [mm] $x_2$
[/mm]
[mm] $\epsilon=\bruch13$ [/mm] zur Konstruktion von [mm] $x_3$
[/mm]
...
> Also habe ich eine konvergente TeilfFolge [mm]x_n\red{\in X}[/mm] gefunden,
> deren Grenzwert NICHT in X liegt.
Widerspruch.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Fr 19.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke , passt ;))
Liebe Grüße,
Therese
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